— (601)

25711158255
دانشگاه مازندران
دانشکده علوم ریاضی
پایان نامه جهت اخذ درجه کارشناسی ارشد رشته ریاضی محض (آنالیز)
عنوان:
جواب های چندگانه برای مسأله q,p-لاپلاسین با نمای بحرانی
استاد راهنما:
پروفسور قاسم علیزاده افروزی
استاد مشاور:
دکتر محسن علی محمدی
نگارش:
ناهید رزق جوی
مرداد 1390
کلیه حقوق مادی مرتب بر نتایج مطالعات، ابتکارات و نوآوری های ناشی از تحقیق موضوع این پایان نامه متعلق به دانشگاه مازندران است.

تشکر و قدردانی
نخست خدایم را سپاس می گویم، او که در تمام مراحل زندگی چراغ راهم بوده و هست.
از استاد راهنمای گرانقدرم، جناب آقای پروفسور علیزاده افروزی، که به شوق هدایت ایشان قدم در این راه نهادم و از آغاز تا پایان این مسیر راهگشا و حامی ام بودند، تشکر و قدر دانی می کنم.
هم چنین از استاد مشاور ارجمندم، جناب آقای دکتر علی محمدی که همواره روشنگر راهم بوده اند، قدردانی می کنم.
و در نهایت، سپاس و قدردانی خود را تقدیم به پدر و مادر عزیز و بزرگوارم می کنم که در تمام طول تحصیل حامی و مشوقم بوده اند و به ثمر نشستنم را انتظار می کشند.
ناهید رزق جوی-مرداد 1390
تقدیم
و این کمترین تقدیم به
مهر مادری ات، مادرم
صلابت و بزرگواریت، پدرم
عطوفت و بردباری ات، همسرم
چکیده:
در این پایان نامه ابتدا به بررسی وجود یک جواب غیربدیهی برای مسأله بیضوی غیرخطی نوع qو p-لاپلاسین که به صورت
-∆pu+mup-2u-∆qu+nuq-2u=fx,u x∈RNu∈W1,pRN∩W1,q(RN)
تعریف می شود، می پردازیم که در آن m,n>0، N≥3، 1<q<p<N ، زمانی که u→+∞، fx,uup-1 به ثابت مثبت l میل می کند و ∆su=div∇us-2 ∇u.
برای دست یافتن به جواب این مسأله، به جمع آوری نتایجی در قالب چند لم می پردازیم و نتیجه ی اصلی خود را در قالب دو قضیه مطرح می کنیم و با تکیه بر نتایج به دست آمده به اثبات این قضیه ها می پردازیم.
در ادامه به بررسی وجود جواب های چندگانه برای مسأله ی بیضوی غیرخطی از نوع qو p-لاپلاسین زیر، همراه با شرایط مرزی، در فضای سوبولف می پردازیم.
این مسأله به صورت
-∆pu-∆qu=up*-2u+μur-2u in Ωu∣∂Ω=0
تعریف می شود که در آن Ω⊂RN یک دامنه ی کراندار است ، N>p ، p*=NpN-p نمای بحرانی سوبولف است و μ>0 است. می خواهیم ثابت کنیم که اگر داشته باشیم 1<r<q<p<N آنگاه یک μо>0 وجود دارد طوری که برای هر μϵ(0,μо) مسأله دارای جواب است.
برای این منظور نتیجه ی اصلی خود را در قالب یک قضیه مطرح می نماییم سپس جهت اثبات این قضیه به جمع آوری برخی نتایج اولیه در قالب چند لم و یادآوری برخی مفاهیم از نظریه مینی ماکس می پردازیم.
کلمات کلیدی: qو p-لاپلاسین، وجود، جواب غیر بدیهی، جواب های چند گانه، نمای بحرانی.
پیشگفتار:
آنالیز یکی از مهم ترین و تواناترین شاخه های ریاضیات است که رهگشای بسیاری از مسائل ریاضی، فیزیک، مهندسی، مکانیک، مکانیک اتمی و کوانتومی جدید است. در این بین نقش معادلات دیفرانسیل در علوم دیگر انکار ناپذیر است، بدون تردید معادلات دیفرانسیل یکی از بخش های عمده ی ریاضیات است و با توجه به کاربرد ریاضیات و به خصوص معادلات دیفرانسیل در شناخت علوم دیگر و توجیه پدیده های علمی، این بخش از ریاضیات دانشمندان زیادی را مجذوب خود کرده است.
به دلیل کاربرد گسترده ی این شاخه از علم ریاضی در علوم طبیعی، کارهای اساسی روی برخی انواع معادلات انجام شده است. یکی از عملگرهای مرتبط با بسیاری از مسائل مربوط به معادلات دیفرانسیل، عملگر لاپلاسین می باشد که بسیاری از پدیده های فیزیکی و زیست شناسی و … توسط معادلات مرتبط با این عملگر مدل سازی می شوند.
این نوع معادلات در رده ی معادلات دیفرانسیل بیضوی همراه با شرایط مختلف مرزی قرار می گیرند که یکی از شاخه های بسیار کاربردی معادلات دیفرانسیل می باشد و همواره نظر بسیاری از دانشمندان علوم مختلف، به خصوص ریاضیدانان را به خود جلب کرده است.
تألیف کتب و مقالات متعدد پیرامون این موضوع که هم اینک با رشد فزاینده ای ادامه دارد، دلیل انکار ناپذیر این مدعاست.

فصل اول: تعاریف، مفاهیم و قضایای مقدماتی
1-1.مفاهیم مقدماتی ………………………………………………………………………………………………………………………..2
1-2. پیوستگی هولدر ……………………………………………………………………………………………………………………….5
1-3. فضاهای باناخ و هیلبرت ……………………………………………………………………………………………………………..6
1-4. فضاهای LpΩ …………………………………………………………………………………………………………………….10
1-5. قضیه ی دیورژانس …………………………………………………………………………………………………………………..13
1-6. فضاهای سوبولف …………………………………………………………………………………………………………………… 15
1-7. عملگرهای خطی ……………………………………………………………………………………………………………………. 18
1-8 . روش های حساب تغییرات ……………………………………………………………………………………………………….22
فصل دوم: وجود یک جواب غیربدیهی برای مسئله ی p و q-لاپلاسین با غیرخطی مجانبی
2-1.نتایج اولیه ………………………………………………………………………………………………………………………………31
2-2. چگونگی ساختار J∞ ……………………………………………………………………………………………………………..37
2-3. وجود یک جواب غیر بدیهی ……………………………………………………………………………………………………51
فصل سوم: بررسی همگرایی نقطه وار توابع در فضایLp و فضاهای کلی تر
3-1. حالتLp (0<p<∞) ……………………………………………………………………………………………………..65
3-2.حالت کلی …………………………………………………………………………………………………………………………….66
فصل چهارم: جواب های چندگانه برای مسئله ی q,p -لاپلاسین با نمای بحرانی سوبولف
4-1.نتایج اولیه ………………………………………………………………………………………………………………………………74
4-2. بررسی وجود جواب ……………………………………………………………………………………………………………….89
منابع …………………………………………………………………………………………………………………………………………..96
واژه نامه انگلیسی به فارسی ……………………………………………………………………………………………………………99
فصل اول
تعاریف، مفاهیم و قضایای مقدماتی
مقدمه :
در این فصل مفاهیم پایه مورد نیاز را بیان نموده و در ادامه مروری گذرا بر فضاهای باناخ، هیلبرت، Lp، سوبولف و قضایای مرتبط به آن ها خواهیم داشت. شایان ذکر است که تمامی مطالب این فصل از کتب و مقالات معتبر گردآوری شده است(منابع [1]، [5]، [11] ، [13]، [23] ، [32] و … را ملاحظه کنید).
مفاهیم مقدماتی
تعریف(دامنه):
فرض کنیم Rn فضای اقلیدسی n-بعدی (n≥2) با نقاط x1,…xn که, i=1,…,n xiϵR و x2=i=1nxi2 باشد. در این صورت Ω⊂Rn را یک دامنه گوییم هرگاه باز و همبند باشد.
تعریف:
مجموعه ی همه ی توابع پیوسته روی Ω را باCΩ نشان می دهیم. برای kϵN،CkΩ نشان دهنده ی توابعی هستند که همه ی مشتقات تا مرتبه ی k-ام آن ها روی Ω موجود و پیوسته است. C∞Ω کلاس همه ی توابعی است که برای هر عدد طبیعی k، متعلق به CkΩ باشد.
تعریف:
محمل یک تابع پیوسته یf رویRn بصورت زیر تعریف می شود:
supp f=xϵRn :fx≠0 =K
یعنی برای هر xϵRn، اگر x∉K ، آنگاه 0 fx=. همان طور که می دانیم (طبق قضیه ی هاینه برل) مجموعه های بسته و کراندار در Rn فشرده می باشند، بنابراین اگر محملf کراندار باشد، می گوییمf دارای محمل فشرده است. فضای همه ی توابع پیوستهf که محمل فشرده دارند را با CоRn نمایش می دهیم. بطور مشابه CоΩ نشان دهنده ی توابع پیوسته روی Ω می باشد که محمل آن ها یک زیرمجموعه ی فشرده از Ω است. هم چنین CоkΩ نیز به طریق مشابه قابل تعریف است.
تعریف:
گوییم تابعf روی دامنه ی Ω تغییر علامت می دهد هرگاه اندازه ی مجموعه های xϵΩ : fx>0 و
xϵΩ : fx<0 مثبت باشد.
تعریف(مجموعه ی محدب):
مجموعه ی E⊂Rn را محدب گویند، هرگاه برای هر x,yϵE و هر 0<t<1 داشته باشیم
tx+1-ty ϵ E .
تعریف (تابع محدب):
تابع حقیقی تعریف شده در a,b را محدب گویند هرگاه برای هر x,y ϵ a,b و هر 0<t<1 داشته باشیم
ftx+1-ty≤tfx+1-tfy.
تعریف(تابع آزمون):
تابعf، تعریف شده روی مجموعه ی باز غیرتهی Ω⊂Rn را یک تابع آزمون نامند، هرگاه fϵC∞Ω باشد و یک مجموعه ی

متن کامل در سایت homatez.com
NameEmailWebsite

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *