— (601)

25711158255
دانشگاه مازندران
دانشکده علوم ریاضی
پایان نامه جهت اخذ درجه کارشناسی ارشد رشته ریاضی محض (آنالیز)
عنوان:
جواب های چندگانه برای مسأله q,p-لاپلاسین با نمای بحرانی
استاد راهنما:
پروفسور قاسم علیزاده افروزی
استاد مشاور:
دکتر محسن علی محمدی
نگارش:
ناهید رزق جوی
مرداد 1390
کلیه حقوق مادی مرتب بر نتایج مطالعات، ابتکارات و نوآوری های ناشی از تحقیق موضوع این پایان نامه متعلق به دانشگاه مازندران است.

تشکر و قدردانی
نخست خدایم را سپاس می گویم، او که در تمام مراحل زندگی چراغ راهم بوده و هست.
از استاد راهنمای گرانقدرم، جناب آقای پروفسور علیزاده افروزی، که به شوق هدایت ایشان قدم در این راه نهادم و از آغاز تا پایان این مسیر راهگشا و حامی ام بودند، تشکر و قدر دانی می کنم.
هم چنین از استاد مشاور ارجمندم، جناب آقای دکتر علی محمدی که همواره روشنگر راهم بوده اند، قدردانی می کنم.
و در نهایت، سپاس و قدردانی خود را تقدیم به پدر و مادر عزیز و بزرگوارم می کنم که در تمام طول تحصیل حامی و مشوقم بوده اند و به ثمر نشستنم را انتظار می کشند.
ناهید رزق جوی-مرداد 1390
تقدیم
و این کمترین تقدیم به
مهر مادری ات، مادرم
صلابت و بزرگواریت، پدرم
عطوفت و بردباری ات، همسرم
چکیده:
در این پایان نامه ابتدا به بررسی وجود یک جواب غیربدیهی برای مسأله بیضوی غیرخطی نوع qو p-لاپلاسین که به صورت
-∆pu+mup-2u-∆qu+nuq-2u=fx,u x∈RNu∈W1,pRN∩W1,q(RN)
تعریف می شود، می پردازیم که در آن m,n>0، N≥3، 1<q<p<N ، زمانی که u→+∞، fx,uup-1 به ثابت مثبت l میل می کند و ∆su=div∇us-2 ∇u.
برای دست یافتن به جواب این مسأله، به جمع آوری نتایجی در قالب چند لم می پردازیم و نتیجه ی اصلی خود را در قالب دو قضیه مطرح می کنیم و با تکیه بر نتایج به دست آمده به اثبات این قضیه ها می پردازیم.
در ادامه به بررسی وجود جواب های چندگانه برای مسأله ی بیضوی غیرخطی از نوع qو p-لاپلاسین زیر، همراه با شرایط مرزی، در فضای سوبولف می پردازیم.
این مسأله به صورت
-∆pu-∆qu=up*-2u+μur-2u in Ωu∣∂Ω=0
تعریف می شود که در آن Ω⊂RN یک دامنه ی کراندار است ، N>p ، p*=NpN-p نمای بحرانی سوبولف است و μ>0 است. می خواهیم ثابت کنیم که اگر داشته باشیم 1<r<q<p<N آنگاه یک μо>0 وجود دارد طوری که برای هر μϵ(0,μо) مسأله دارای جواب است.
برای این منظور نتیجه ی اصلی خود را در قالب یک قضیه مطرح می نماییم سپس جهت اثبات این قضیه به جمع آوری برخی نتایج اولیه در قالب چند لم و یادآوری برخی مفاهیم از نظریه مینی ماکس می پردازیم.
کلمات کلیدی: qو p-لاپلاسین، وجود، جواب غیر بدیهی، جواب های چند گانه، نمای بحرانی.
پیشگفتار:
آنالیز یکی از مهم ترین و تواناترین شاخه های ریاضیات است که رهگشای بسیاری از مسائل ریاضی، فیزیک، مهندسی، مکانیک، مکانیک اتمی و کوانتومی جدید است. در این بین نقش معادلات دیفرانسیل در علوم دیگر انکار ناپذیر است، بدون تردید معادلات دیفرانسیل یکی از بخش های عمده ی ریاضیات است و با توجه به کاربرد ریاضیات و به خصوص معادلات دیفرانسیل در شناخت علوم دیگر و توجیه پدیده های علمی، این بخش از ریاضیات دانشمندان زیادی را مجذوب خود کرده است.
به دلیل کاربرد گسترده ی این شاخه از علم ریاضی در علوم طبیعی، کارهای اساسی روی برخی انواع معادلات انجام شده است. یکی از عملگرهای مرتبط با بسیاری از مسائل مربوط به معادلات دیفرانسیل، عملگر لاپلاسین می باشد که بسیاری از پدیده های فیزیکی و زیست شناسی و … توسط معادلات مرتبط با این عملگر مدل سازی می شوند.
این نوع معادلات در رده ی معادلات دیفرانسیل بیضوی همراه با شرایط مختلف مرزی قرار می گیرند که یکی از شاخه های بسیار کاربردی معادلات دیفرانسیل می باشد و همواره نظر بسیاری از دانشمندان علوم مختلف، به خصوص ریاضیدانان را به خود جلب کرده است.
تألیف کتب و مقالات متعدد پیرامون این موضوع که هم اینک با رشد فزاینده ای ادامه دارد، دلیل انکار ناپذیر این مدعاست.

فصل اول: تعاریف، مفاهیم و قضایای مقدماتی
1-1.مفاهیم مقدماتی ………………………………………………………………………………………………………………………..2
1-2. پیوستگی هولدر ……………………………………………………………………………………………………………………….5
1-3. فضاهای باناخ و هیلبرت ……………………………………………………………………………………………………………..6
1-4. فضاهای LpΩ …………………………………………………………………………………………………………………….10
1-5. قضیه ی دیورژانس …………………………………………………………………………………………………………………..13
1-6. فضاهای سوبولف …………………………………………………………………………………………………………………… 15
1-7. عملگرهای خطی ……………………………………………………………………………………………………………………. 18
1-8 . روش های حساب تغییرات ……………………………………………………………………………………………………….22
فصل دوم: وجود یک جواب غیربدیهی برای مسئله ی p و q-لاپلاسین با غیرخطی مجانبی
2-1.نتایج اولیه ………………………………………………………………………………………………………………………………31
2-2. چگونگی ساختار J∞ ……………………………………………………………………………………………………………..37
2-3. وجود یک جواب غیر بدیهی ……………………………………………………………………………………………………51
فصل سوم: بررسی همگرایی نقطه وار توابع در فضایLp و فضاهای کلی تر
3-1. حالتLp (0<p<∞) ……………………………………………………………………………………………………..65
3-2.حالت کلی …………………………………………………………………………………………………………………………….66
فصل چهارم: جواب های چندگانه برای مسئله ی q,p -لاپلاسین با نمای بحرانی سوبولف
4-1.نتایج اولیه ………………………………………………………………………………………………………………………………74
4-2. بررسی وجود جواب ……………………………………………………………………………………………………………….89
منابع …………………………………………………………………………………………………………………………………………..96
واژه نامه انگلیسی به فارسی ……………………………………………………………………………………………………………99
فصل اول
تعاریف، مفاهیم و قضایای مقدماتی
مقدمه :
در این فصل مفاهیم پایه مورد نیاز را بیان نموده و در ادامه مروری گذرا بر فضاهای باناخ، هیلبرت، Lp، سوبولف و قضایای مرتبط به آن ها خواهیم داشت. شایان ذکر است که تمامی مطالب این فصل از کتب و مقالات معتبر گردآوری شده است(منابع [1]، [5]، [11] ، [13]، [23] ، [32] و … را ملاحظه کنید).
مفاهیم مقدماتی
تعریف(دامنه):
فرض کنیم Rn فضای اقلیدسی n-بعدی (n≥2) با نقاط x1,…xn که, i=1,…,n xiϵR و x2=i=1nxi2 باشد. در این صورت Ω⊂Rn را یک دامنه گوییم هرگاه باز و همبند باشد.
تعریف:
مجموعه ی همه ی توابع پیوسته روی Ω را باCΩ نشان می دهیم. برای kϵN،CkΩ نشان دهنده ی توابعی هستند که همه ی مشتقات تا مرتبه ی k-ام آن ها روی Ω موجود و پیوسته است. C∞Ω کلاس همه ی توابعی است که برای هر عدد طبیعی k، متعلق به CkΩ باشد.
تعریف:
محمل یک تابع پیوسته یf رویRn بصورت زیر تعریف می شود:
supp f=xϵRn :fx≠0 =K
یعنی برای هر xϵRn، اگر x∉K ، آنگاه 0 fx=. همان طور که می دانیم (طبق قضیه ی هاینه برل) مجموعه های بسته و کراندار در Rn فشرده می باشند، بنابراین اگر محملf کراندار باشد، می گوییمf دارای محمل فشرده است. فضای همه ی توابع پیوستهf که محمل فشرده دارند را با CоRn نمایش می دهیم. بطور مشابه CоΩ نشان دهنده ی توابع پیوسته روی Ω می باشد که محمل آن ها یک زیرمجموعه ی فشرده از Ω است. هم چنین CоkΩ نیز به طریق مشابه قابل تعریف است.
تعریف:
گوییم تابعf روی دامنه ی Ω تغییر علامت می دهد هرگاه اندازه ی مجموعه های xϵΩ : fx>0 و
xϵΩ : fx<0 مثبت باشد.
تعریف(مجموعه ی محدب):
مجموعه ی E⊂Rn را محدب گویند، هرگاه برای هر x,yϵE و هر 0<t<1 داشته باشیم
tx+1-ty ϵ E .
تعریف (تابع محدب):
تابع حقیقی تعریف شده در a,b را محدب گویند هرگاه برای هر x,y ϵ a,b و هر 0<t<1 داشته باشیم
ftx+1-ty≤tfx+1-tfy.
تعریف(تابع آزمون):
تابعf، تعریف شده روی مجموعه ی باز غیرتهی Ω⊂Rn را یک تابع آزمون نامند، هرگاه fϵC∞Ω باشد و یک مجموعه ی فشرده مانند K⊂Ω موجود باشد، طوری که محملf درK قرار داشته باشد. مجموعه ی تمام این توابع را باCо∞Ω نشان می دهند.
نمادگذاری:
L1Ω را گردایه ی تمام توابع تعریف شده روی قلمرو Ω در نظر می گیریم طوری که:
Ω fx dx<∞ اغلب اوقات با توابعی که بطور موضعی انتگرال پذیر هستند، روبرو می شویم، یعنی توابعی که روی هر زیرمجموعه فشرده از Ω انتگرال پذیر هستند و لزومی ندارد که روی خود Ω انتگرال پذیر باشند. مجموعه ی همه ی چنین توابعی را با Lloc1Ω نشان می دهیم.
چون توابع پیوسته روی مجموعه های فشرده مقدار بیشینه و کمینه ی خود را می گیرند، می توان نتیجه گرفت که :
CоΩ⊂L1Ω CΩ⊂Lloc1Ω
تعریف(نگاشت خطی، تابعک خطی):
فرض کنید X وY فضاهای برداری باشند، یک نگاشت f : X→Y را خطی گوییم هرگاه
fαx+βy=α fx+β fy, ∀x,y ϵ X , ∀α,β ϵ R
نگاشت های خطی از X به میدان اسکالر، تابعک خطی نامیده می شوند.
1-1-10. تعریف(نقطه ی بحرانی یک تابعک):
گوییم x نقطه ی بحرانی تابعک F می باشد هرگاه F’x=0. به عبارت دیگر برای هرyϵX باید داشته باشیم
F’xy=0 .
1-1-11.تعریف(نماد o.):
برای t>0 و یک عدد حقیقی p می گوییم ft=otp اگر و فقط اگر وقتی که t→0، داشته باشیم
fttp→0 1-1-12. تعریف(دنباله می نیمم کننده): 10 دنباله ی um یک می نیمم کننده برای تابع E روی V است اگر
limm→∞Eum=infuϵVEu 1-1-13.تعریف(تابع برشی):
تابع ψ : Rn→R را یک تابع برشی گوییم هرگاه هموار بوده و در یک همسایگی، صفر و برای ξ های بزرگ ψξ=1 باشد.
1-2. پیوستگی هولدر
1-2-1. تعریف (پیوستگی هولدر):
فرض کنید xо یک نقطه در Rn وf یک تابع تعریف شده روی یک زیرمجموعه باز کراندار Ω شامل xо باشد. برای 0<α<1 می گوییم «f پیوسته ی هولدر با قوه ی α در xо » است اگر که کمیت
fα;xо=supxϵΩfx-fxоx-xоα متناهی باشد.
اگر در کمیت فوق α=1 باشد می گوییمf در نقطه ی xо پیوسته ی لیپ شیتز است. اگرf پیوسته ی هولدردر xо باشد، آنگاهf در xо به وضوح پیوسته است.
1-2-2. تعریف(پیوستگی هولدر در Ω):
گوییم تابعf، پیوسته ی هولدر با قوه ی α در Ω می باشد، هرگاه مقدار
fα;Ω= supx,yϵΩx≠yfx-fyx-yα متناهی باشد.
1-3. فضاهای باناخ و هیلبرت
1-3-1. تعریف(فضای خطی نرمدار، فضای باناخ):
فضای برداری X را یک « فضای خطی نرمدار » نامیم، هرگاه نرم روی X که با نگاشت P:X→R x↦x معرفی
می شود، دارای شرایط زیر باشد:
x≥0 برای هر xϵX و x=0 اگر و تنها اگر x=0 ،
αx=αx برای هر xϵX و هر αϵR ،
x+y≤x+y برای هر x,y ϵ X .
یک فضای نرمدار خطی X ، تحت متر تعریف شده در زیر، یک فضای متریک می باشد :
dx,y=x-y ; ∀x,y ϵ X
در نتیجه یک دنباله xn⊂X همگرا به عنصر xϵX است، هرگاه وقنی که n→∞، داشته باشیم xn-x→0 ، هم چنین xn یک دنباله کوشی است هرگاه xm-xn→0 وقتی که m,n→∞ . هر فضای باناخ یک فضای خطی نرمدار است که با متر تعریف شده بوسیله ی نرمش تام (کامل) باشد، یعنی هر دنباله کوشی در X با متر تعریف شده بوسیله ی نرمش به نقطه ای از X همگرا باشد.
1-3-2. تعریف(فضای باناخ انعکاسی):
فضای باناخ X انعکاسی نامیده می شود هرگاه ایزومتری x→lx از X→X** تعریف شده به وسیله ی lxy=yx پوشا باشد که در آن y تابعک خطی روی X است.
1-3-3. تعریف(نرمهای معادل):
فرض کنید X یک فضای برداری نرم دار و .1 و .2 دو نرم که روی X تعریف شده اند، نرم های .1 و .2 معادل نامیده می شوند و می نویسیم .1≅.2 اگر اعداد حقیقی مثبت α و β موجود باشند طوری که
αx1≤x2≤βx1 ∀xϵX
1-3-4. تعریف(دوگان): 30 فرض کنیم X یک فضای باناخ باشد، در این صورت خانواده ی همه ی تابعک های خطی و کراندار روی X با نرم
f=supxϵXx≠оfxx خود یک فضای باناخ است که آن را دوگان فضای X نامیده و با X* نمایش می دهند.
تعریف: 27فرض کنیم X یک فضای برداری توپولوژیکی و X* فضای دوگان آن باشد، یک X-توپولوژی از X* یک ضعیف* -توپولوژی از X* نامیده می شود.
قضیه(باناخ-آلوگلو): 27اگر V یک همسایگی از صفر در یک فضای برداری توپولوژیکی X باشد و اگر
K=ΛϵX*: Λx≤1; ∀xϵV
آنگاه K ضعیف* -فشرده است.
1-3-7. تعریف(همگرایی ضعیف):
فرض کنیم X یک فضای باناخ باشد، دنباله ی xn همگرای ضعیف به عنصر xϵX است هرگاه:
hxn→hx; ∀hϵ X*
1-3-8 . تعریف(همگرایی قوی):
فرض کنیم X یک فضای باناخ باشد، در این صورت دنباله ی xn از X را به عنصرxϵX همگرای قوی گویند هرگاه limn→∞xn-x=0.
1-3-9. قضیه (ریس): 35فرض کنیم X یک فضای هنج دار و Y یک زیرفضای خطی سره و بسته از X باشد و داشته باشیم 0<d<l، در این صورت aϵX ای وجود دارد به قسمی که
infx-a :xϵY≥d, a=1
1-3-10 . قضیه(در مورد همگرایی ضعیف): [31,3]
در فضای نرمدار X داریم:
1) اگر xn→x همگرای ضعیف باشد، آنگاه حد ضعیف x، یکتاست.
2) اگر xn→x همگرای ضعیف باشد، آنگاه هر زیردنباله ای از xn نیز به x همگرای ضعیف است.
3) اگر xn→x همگرای ضعیف باشد، آنگاه xn به طور یکنواخت کراندار است.
4) اگر xn→x همگرا باشد، آنگاه xn→x همگرای ضعیف است.
5) اگر xn→x همگرای ضعیف باشد و dim X<∞، آنگاه xn→x همگرای قوی است.
6)اگر xn→x همگرای ضعیف باشد، آنگاه x≤lim⁡infn→∞ xn .
1-3-11. لم(فأتو): 28 اگر Ω⊂RN مجموعه ی اندازه پذیر و fn دنباله ای نامنفی از توابع اندازه پذیر باشد، آنگاه داریم:
Ω lim⁡infn→∞fnxdx≤lim⁡infn→∞Ω fnxdx 1-3-12. تعریف(فضای ضرب داخلی، فضای هیلبرت):
فضای برداری (حقیقی) H را یک فضای ضرب داخلی نامیم، هرگاه به هر زوج مرتب از بردارهای x,y درH یک عدد حقیقی مانند x,y به نام حاصل ضرب داخلی x و y چنان مربوط شده باشد که قواعد زیر برقرار باشند:
برای هر x,yϵH ، x,y=y,x ،
برای هر λ1,λ2ϵ R و هر x1,x2,y ϵ H داشته باشیم:
λ1×1+λ2×2,y=λ1×1,y+λ2×2,y
برای هر xϵH و x,x≥0 ،
x=0 اگر و تنها اگر x,x=0 .
بنابر (3) می توان x ، یعنی نرم بردار xϵH را ریشه ی دوم نامنفی x,x تعریف کرد. یعنی:
x=x,x12 ; ∀xϵH
در این صورت بوضوح شرایط (1) و (2) در تعریف 1-3-1 برقرارند. برای اثبات نامساوی مثلثی، مطابق نامساوی کوشی-شوارتز، به ازای هر x,y ϵ H داریم :
x,y≤xy
و همچنین با کمک نامساوی x,y≤x,y بدست خواهیم آورد:
x+y2=x+y , x+y=x2+2x,y+y2≤x+y2 یا
x+y≤x+y
بنابراین تمام اصول موضوعه یک فضای نرمدار خطی برقرار می باشد، لذا یک فضای ضرب داخلی H، یک فضای نرمدار خطی نیز است. هرگاه این فضای ضرب داخلی تام (کامل) باشد آن را یک فضای هیلبرت می گویند.
1-3-13. تعریف(تعامد): 28 فرض کنید H یک فضای هیلبرت باشد. می گوییم دو عنصر x,yϵH متعامدند، هرگاه x,y=0. برای هر زیرفضای M از H، متمم متعامد را به صورت زیر تعریف می کنیم :
M⊥=x ϵ H∣x,y=0, ∀y ϵ M
بوضوح M⊥ یک زیر فضای بسته ای از H است. اگر M نیز بسته باشد، آنگاه H جمع مستقیم M و M⊥ است و می نویسیم:
H=M⊕M⊥
1-3-14. قضیه: 13 هر دنباله ی کراندار در یک فضای هیلبرت دارای یک زیردنباله به طور ضعیف همگراست..
1-4. فضاهای LpΩ :
1-4-1. تعریف(فضای LpΩ):
فرض کنید Ω یک دامنه ی کراندار در Rn و p یک عدد حقیقی مثبت باشد و همچنین u یک تابع اندازه پذیر و تعریف شده روی Ω باشد. تعریف می کنیم:
up=Ω uxpdx1p در این صورت LpΩ را متشکل از همه ی u هایی می گیریم که برای آن ها داشته باشیم up<∞ و up را نرم Lp تابع u می نامیم.
در LpΩ توابعی را یکی می گیریم که بطور تقریبا همه جا با هم برابر باشند، یعنی اندازه ی مجموعه ی نقاطی که با هم مساوی نیستند برابر با صفر باشد. درLpΩ می گوییم u=0 است اگر ux=0 بطور تقریبا همه جا روی Ω0 بوضوح اگر uϵLpΩ و cϵR آنگاه cuϵLpΩ ، به علاوه اگر u,νϵLpΩ آنگاه داریم:
ux+νxp≤ux+νxp≤2p-1uxp+νxp
پس u+ν ϵ LpΩ و بنابراین LpΩ یک فضای برداری است. 281-4-2. تعریف(سوپریمم اساسی):
فرض کنید u یک تابع اندازه پذیر روی Ω باشد. می گوییم u به طور اساسی کراندار است، هرگاه یک ثابت KϵR وجود داشته باشد بطوریکه رابطه ی ux≤K به طور تقریبا همه جا در Ω برقرار باشد. به بزرگترین کران پایین (اینفیمم) چنین K هایی سوپریمم اساسی می گوییم و آن را با نماد زیر نشان می دهیم:
ess supxϵΩux=infK : μx : ux>K=0 1-4-3. تعریف(فضای L∞Ω):
L∞Ω فضای برداری متشکل از همه ی توابعی است که سوپریمم اساسی آن ها کراندار باشد. نرم در این فضا بصورت زیر تعریف می شود:
u∞=ess supxϵΩux 1-4-4. تعریف(LlocpΩ):
برای 1≤p<∞، LlocpΩ عبارتست از توابع حقیقی مقدار و اندازه پذیر u روی Ω بطوریکه برای هر زیرمجموعه ی فشرده ی K از Ω داشته باشیم:
K uxpdx<∞ اینک به اختصار به بیان چند قضیه و نامساوی در مورد فضای Lp می پردازیم.
1-4-5. قضیه(نامساوی هولدر): 28 اگر 1<p<∞، u ϵ LpΩ ، ν ϵ LqΩ و 1p+1q=1 باشد، آنگاه uν ϵ L1Ω و نیز
uν1≤upνq
1-4-6. قضیه(نامساوی مینکوفسکی): 28 اگر 1<p<∞ و u,ν ϵ LpΩ، آنگاه u+ν ϵ LpΩ و u+νp≤up+νp1-4-7. قضیه(نامساوی یانگ): 28 اگر p>1، q<∞، uϵLpΩ، ϵνLqΩ و 1p+1q=1 آنگاه
upνq≤uppp+νqqq 1-4-7. قضیه(کامل بودن Lp): 28 LpΩ به ازای 1≤p<∞ و هر دامنه ی Ω در Rn یک فضای باناخ است، بعلاوه اگر p=2 آنگاه L2Ω یک فضای هیلبرت با ضرب داخلی u,ν=Ω uνdx می باشد.
1-4-8 . قضیه(همگرایی تسلطی لبگ): 28 اگر Ω⊂Rn مجموعه ای اندازه پذیر و fn دنباله ای از توابع اندازه پذیر در L1 باشد طوریکه
fn→f بطور تقریبا همه جا
تابع نامنفی gϵL1 موجود باشد طوریکه به ازای هر n داشته باشیم fn≤g، آنگاه f اندازه پذیر است و
limn→∞fnxdx=limn→∞fnxdx 1-4-9. تعریف (مجموعه به طور یکنواخت انتگرال پذیر): 28فرض کنید X,M,μ یک فضای اندازه ی مثبت باشد. مجموعه φ⊂L1μ را به طور یکنواخت انتگرال پذیر گوییم هرگاه به ازای هر 0 ε>، یک 0 δ> چنان نظیر باشد که هرگاه fϵφ و μE<δ داشته باشیم
X f dμ<ε 1-4-10. قضیه (ویتالی): 28هرگاه
1) داشته باشیم μX<∞،
2) fn به طور یکنواخت انتگرال پذیر باشد،
3) وقتی که n→∞، fnx→fx به طور تقریبا همه جا،
4) fx<∞ به طور تقریبا همه جا
آنگاه fϵL1μ و limn→∞X fn-f dμ=0.
1-5. قضیه ی دیورژانس
1-5-1. تعریف(بردار گرادیان):
اگر u در Rn تعریف شده باشد، گرادیان u در x=x1,…,xn برداری است در Rn که به صورت زیر تعریف می شود:
∇u=g– u=∂u∂x1,…,∂u∂xn 1-5-2. تعریف(دیورژانس):
اگر u=u1,…,un یک میدان برداری باشد، دیورژانس u در x=x1,…,xn به صورت زیر تعریف می شود:
div u=∇.u=∂u1∂x1+…+∂un∂xn=i=1n∂ui∂xi 1-5-3. تعریف(لاپلاسین):
اگر u یک تابع تعریف شده در Ω⊂Rn باشد و uϵC2Ω، آنگاه لاپلاسین u در x=x1,…,xn که آن را با نماد ∆u نمایش می دهیم به صورت زیر تعریف می شود:
∆u=i=1nDiiu=div ∇u=∂2u∂x12+…+∂2u∂xn2 که در آن Diu=∂u∂xi و Diju=∂2u∂xi∂xj=∂i∂ju .
به وضوح از تعریف مشخص است که ∆ یک عملگر خطی است. یعنی به ازای هر دو ثابت دلخواه a,b و توابع u,ν که در Ω⊂Rn تعریف شده اند، داریم:
∆au+bν=a∆u+b∆ν
1-5-4. تعریف(مشتق در جهت بردار واحد):
فرض کنید u در Rn تعریف شده است، مشتق u در جهت بردار واحد n در نقطه ی pоϵRn بصورت
∂u∂n│pо=∇upо.n . تعریف می شود.
1-5-5. قضیه(دیورژانس): 26 فرض کنید ν=ν1,…,νn یک میدان برداری روی Ω⊂Rn باشد که νjϵC1Ω و νϵC1Ω,Rn. آنگاه:
∂Ω ν.nds=Ω div νdx که در آن n بردار یکه ی نرمال برونسوی عمود بر سطح ∂Ω و ds نمایش دهنده ی عنصر n-1 – بعدی در ∂Ω می باشد، به عنوان مثال داریم:
Ω ∆u dx=∂Ω ∇u.n ds=∂Ω ∂u∂n ds 1-6. فضاهای سوبولف
1-6-1. تعریف(اندیس چندگانه):
اندیس چندگانه، یک N تایی α=α1,…,αN است که هر کدام از αi ها، اعداد صحیح نامنفی هستند. یک جمله ای x1α1…xNαN را با xα نشان می دهیم که دارای درجه ی α=j=1Nαj است، به طور مشابه اگر Dj=∂∂xj , 1≤j≤N ، آنگاه برای u : Ω⊂Rn→R و x=x1,…,xN در Ω مشتق نسبی مرتبه α ام u را بصورت زیر تعریف می کنیم:
Dαu=D1α1…DNαNu=∂αu∂x1α1…∂xNαN که نشان دهنده ی عملگر دیفرانسیلی از مرتبه ی α است. از طرفی داریم Dо,…,оu=u .
1-6-2. تعریف(مشتق ضعیف):
فرض کنید uϵLloc1Ω و α یک اندیس چندگانه باشد، تابع νϵLloc1Ω یک مشتق ضعیف از مرتبه ی α برای u نامیده می شود هرگاه تساوی زیر برای هر φ ϵ Cо∞Ω برقرار باشد:
Ω uxDαφx dx=-1αΩ νxφx dx و می نویسیم νx=Dαux.
می گوییم یک تابع به طور ضعیف مشتق پذیر است هرگاه همه ی مشتقات ضعیف از مرتبه ی اول آن موجود باشند و می گوییم k مرتبه به طور ضعیف مشتق پذیر است هرگاه همه ی مشتقات ضعیف از مرتبه ی نابیشتر از k برای آن موجود باشند.
1-6-3. تعریف(مشتق یک نگاشت):
نگاشت F : RN→R را در نظر بگیرید، مشتق F در نقطه ی x در جهت y را به صورت زیر تعریف می کنیم:
F’xy=limε→0Fx+εy-Fxε 1-6-4. تعریف(مشتق فرچت):
یک تابعک F روی فضای باناخ X در یک نقطه uϵX دارای مشتق فرچت است اگر برای نگاشت
DyFx=F’xy
که دیفرانسیل F در x نامیده می شود، به قسمی که وقتی yX→0 داشته باشیم:
Fx+y-Fx-F’xyyX→0 DFxy=F’xy=dFdεx+εy│ε=0 1-6-5. تعریف(فضاهای سوبولفWk,pΩ):
فرض کنید k عدد صحیح نامنفی و 1≤p<∞ باشد. فضای سوبولف Wk,pΩ فضای خطی توابع uϵLpΩ می باشد که برای هر 0≤α≤k مشتق ضعیف Dαu وجود داشته باشد و به LpΩ متعلق باشد.
Wk,pΩ=uϵLpΩ : DαuϵLpΩ , 0≤α≤k
واضح است که Wо,pΩ=LpΩ.
1-6-6. نکته:
فضاهای سوبولف از مرتبه ی m ، که با HmΩ نمایش داده می شود، عبارتست از فضای همه ی توابع در L2Ω که تمام مشتقات ضعیف تا مرتبه ی m ام به L2Ω متعلق است، یعنی
HmΩ=u : Dαu ϵ L2Ω; ∀α , 0≤α≤m
1-6-7. تعریف نرم در فضای Wk,pΩ:
فرض کنید 1≤p≤∞ و k عدد صحیح نامنفی باشد آنگاه:
uk,p=о≤α≤kDαupp1p 1≤p<∞ uk,∞=maxо≤α≤kDαu∞ p=∞ 1-6-8 . تعریف:
بستارCоkΩ در فضای Wk,pΩ، Wоk,pΩ نامیده می شود.
اگر p=2 باشد معمولا می نویسیم
Wоk,2Ω=HоkΩ , Wk,2Ω=HkΩ
و نیز اگرk=0 باشد داریم Wо,pΩ=LpΩ.
1-6-9. قضیه: 1 برای هر kϵN و 1≤p≤∞، Wk,pΩ یک فضای باناخ است.
1-6-10. لم(لم اساسی حساب تغییرات): 14 فرض کنید wϵLloc1Ω و برای هر ϵφCо∞Ω داشته باشیم:
Ω wφ dx=0
آنگاه w=0 .
1-7. عملگر های خطی
1-7-1. تعریف(عملگر خطی):
فرض کنید X,Y فضاهای برداری باشند، نگاشت T :X→Y عملگر خطی نامیده می شود هرگاه:
Tλ1×1+λ2×2=λ1Tx1+λ2Tx2 ∀λiϵR , xi ϵ X ; i=1,2
1-7-2. تعریف(عملگر خطی کراندار):
عملگر خطی T کراندار است هرگاه یک ثابت مثبت M وجود داشته باشد بطوریکه
TxY≤MxX ∀x ϵ X
به عبارتی اگر A در X کراندار باشد آنگاه TA در Y کراندار است.
1-7-3. تعریف(نرم عملگر خطی): 30 کوچکترین مقدار M که در نامساوی بالا صدق کند نرم T نامیده می شود و به صورت زیر تعریف می شود:
T=supx≠0xϵXTxYxX 1-7-4. تعریف(عملگر خطی فشرده):
فرض کنید X,Y فضاهایی نرمدار باشند. عملگر T :X→Y عملگر خطی فشرده نامیده می شود، هرگاه T خطی بوده و برای هر زیرمجموعه کراندار از XمانندM، TM به طور نسبی فشرده باشد یعنی TM فشرده باشد.
1-7-5. تعریف(عملگر بیضوی):
فرض کنید Ω یک دامنه ی هموار و کراندار در RN باشد. مسأله ای به شکل زیر را در نظر بگیرید
Lu=fx , xϵΩ Bux=0 ,xϵ∂Ω (*)
که در آن عملگر دیفرانسیلی L به صورت زیر تعریف شده است:
L=-i,j=1Naij∂i∂j+i=1Nai∂i+c عملگر (*) را در نقطه ی x=x1,…,xN بیضوی می گوییم اگر ضریب μx ای موجود باشد طوری که برای هر بردار حقیقی ζ1,…,ζN داشته باشیم
-i,j=1Naijxζiζj≥μxi=1Nζi2 عملگر L را بر Ω بیضوی گوییم هرگاه بر هر نقطه از Ω بیضوی باشد. هم چنین این عملگر را بیضوی یکنواخت می نامیم اگر در هر نقطه ای از Ω بیضوی باشد و یک ثابت مثبت μо موجود باشد، طوری که برای هر xϵΩ داشته باشیم μx≥μо.
عملگر بیضوی یکنواخت L را از نوع واگرایی گوییم اگر
Lu=∂∂xiaij∂∂xiu+cu با ضرایب کراندار aij=aji. فرض کنید ضرایب L یعنی c، ai و aij همگی در CαΩ باشند. عملگر مرزی B به صورت
B=bо+b1∂∂n تعریف می شود که در آن ∂∂n بیانگر مشتق در جهت بردار یکه نرمال خارجی بر Ω است.
در حالتی که bо=1 و b1=0 باشد، (*) را یک معادله ی بیضوی با شرط مرزی دیریکله گوییم، اگر b1=1 و bо=0 باشد (*) را یک معادله ی بیضوی با شرط مرزی نیومن و اگر b1=1 و bоϵR باشد آن را یک معادله بیضوی با شرط مرزی نوع سوم یا رابین گوییم.
1-7-6. تعریف(عملگر p-لاپلاس):
برای 1<p<∞ عملگر L=∆p را عملگر p-لاپلاس گوییم اگر داشته باشیم:
Lu=∆pu=div ∇up-2∇u
به سادگی می توان دید که ∆p عملگر بیضوی است.
1-7-7. لم(پیوستگی): 23 فرض کنید X و Y فضاهایی نرمدار باشند. آنگاه هر عملگر فشرده T :X→Y کراندار و لذا پیوسته است.
1-7-8 . تعریف(نشاندن):
فرض کنیم Ω دامنه ای در Rn و c یک ثابت باشد، اگر X و Y فضاهای باناخ باشند طوری که X⊂Y و داشته باشیم:
uY≤cuX ∀u ϵ X
آنگاه گوییم X به طور پیوسته در Y نشانده می شود و یا به طور معادل می توان گفت عملگر همانیI :X→Y کراندار باشد. همچنین می گوییم X به طور فشرده در Y نشانده می شود هرگاه عملگر نشاندن I فشرده باشد.
1-7-9. قضیه(نامساوی سوبولف برای p<n): 32 فرض کنید Ω یک دامنه در Rn باشد و 1≤p<n و q=npn-p. آنگاه ثابت c=cn,p وجود دارد طوری که برای هر uϵC1Ω داریم:
uq≤c∇up
در نامساوی فوق ∇up=∇up dx1p می باشد.
1-7-10. قضیه(انقباض-فشردگی): 32 فرض کنید 1≤p<n، 1q=1p-1N و um→u در Wо1,pRN همگرا باشد و ump⇀μ و umq⇀γ به طور ضعیف به مفهوم اندزه همگرا باشند که μ , γ دو اندازه ی نامنفی و کراندار در RN می باشند. در این صورت
حداکثر یک مجموعه اندیس شمارای I، گردایه های xj; j ϵ I از نقاط متمایز γj; j ϵ I موجود است طوری که
ν=uq+jϵIγjδxj که δx تابع دلتای دیراک است.
به علاوه داریم
μ≥∇up+jϵIμjδxj , μj≥cγjpq که c ثابت به کار رفته در قضیه ی (1-7-9) می باشد.
1-7-11 . قضیه(نشاندن سوبولف برای p<n): 32 فرض کنید Ω دامنه ای در Rn باشد. آنگاه W1,pΩ در LqΩ به طور پیوسته نشانده می شود به شرط اینکه p<n و 1≤q≤npn-p. به علاوه این نشاندن فشرده است، هرگاه q<npn-p.
1-7-12. قضیه(نشاندن سوبولف برای p>n): 23 اگر p>n و Ω یک دامنه ی کراندار در Rn باشد آنگاه Wо1,pΩ⊂CαΩ یک نشاندن پیوسته برای α=1-np می باشد.
1-8 . روش های حساب تغییرات
1-8-1. تعریف(جواب ضعیف):
عملگر دیفرانسیلی خطی مرتبه ی m ام که به صورت
Lu=α≤maαxDαu تعریف می شود را در نظر می گیریم که در آن هر aαx یک تابع حقیقی مقدار است و معمولا فرض می کنیم که aαϵCαΩ.
تابع uϵLloc1Ω یک جواب ضعیف Lu=fϵLloc1Ω نامیده می شود هرگاه
Ω ν Ludx=Ω f ν dx , ∀ν ϵ Wо1,2Ω ∀ν ϵ C∞Ω یا توجه کنید که جواب کلاسیک از Lu=f روی Ω در حالت کلی به صورت تابع u ای تعریف می شد طوری که m مرتبه روی Ω مشتق پذیر بود و به ازای هر x ϵ Ω در Lu=f صدق می کرد.
1-8-2. تعریف(روش تغییراتی):
یافتن یک جواب ضعیف به عنوان یک نقطه ی بحرانی از یک تابعک غیر خطی روش تغییراتی برای حل یک معادله با مشتقات جزئی نامیده می شود.
1-8-3. تعریف(شرط پالایز-اسمال): 24 فرض کنید F : RN→R نگاشت C1 باشد و xn دنباله ای باشد که
Fxn کراندار باشد.
F’xn→0 وقتی که n→∞ .
آنگاه xn زیردنباله ای همگرا دارد. مفروضات فوق را شرط پالایز-اسمال و دنباله ای که در این شرط صدق می کند، دنباله ی پالایز-اسمال می نامند.
1-8-4. قضیه(مسیرکوهی): 24 فرض کنید X فضای باناخ حقیقی باشد و Bρ(0) نشان دهنده ی گوی به مرکز مبدأ و شعاع ρ باشد و همچنین فرض کنید که F تابعک C1 روی X باشد که در شرایط زیر صدق کند:
F(0)=0،
به ازای هر ρ>0، α>0 ای باشد طوری که F│∂Bρ(0)≥α،
به ازای هر x ϵ X\Bρ(0)، Fx≤0و فرض کنید که مسیر بین صفر و x همبند باشد، به این معنی که هر تابع واصل این دو نقطه، پیوسته و به صورت g :[0,1]→X با g(0)=0 و g1=x است. چون g باید از ∂Bρ(0) عبور کند و از شرط (2) می دانیم که
max0≤t≤1Fgt≥α حال فرض می کنیم که Γ مجموعه ی همه ی مسیرهای پیوسته بین صفر و x باشد و
h=infgϵΓmaxо≤t≤1Fgt نشان دهنده ی ارتفاع مسیر کوهی باشد(توجه شود که h≥α)،
اگرF در شرط پالایز-اسمال نیز صدق کند،
آنگاه F نقطه ی بحرانی xо ای دارد طوری که Fxо=h. .
فصل دوم
وجود یک جواب غیربدیهی برای مسأله ی p و q-لاپلاسین
با غیرخطی مجانبی
مقدمه:
مسأله ی بیضوی نوع qو p-لاپلاسین زیر را در نظر می گیریم
-∆pu+mup-2u-∆qu+nuq-2u=fx,u x∈RNu∈W1,pRN∩W1,q(RN) 1.2 طوری که در آن m,n>0، N≥3، 1<q<p<N و∆su=div∇us-2 ∇u و زمانی که u→+∞، fx,uup-1 به یک ثابت مثبت میل می کند.
در این فصل می خواهیم ثابت کنیم که این مسأله دارای یک جواب غیربدیهی در RN است، حتی اگر برای x,uϵRN×R+ غیرخطی fx,t در شرط (شرط آمبروستی-رابینز(AR))
0≤Fx,u≡0 ufx,sds≤1p+θfx,uu صدق نکند.
جهت اثبات وجود این جواب، در بخش اول به بررسی برخی نتایج اولیه در قالب چند لم می پردازیم، در ادامه نتایج اصلی خود را در بخش دوم و سوم در هر بخش در قالب یک قضیه مطرح نموده و به اثبات آن خواهیم پرداخت. در واقع جهت اثبات نتایج خود و دست یافتن به جواب مسأله ی (1.2) نتیجه ی اصلی در 17 را تعمیم خواهیم داد.
معادله ی خطی
-∆u+mu=fx,u , xϵRNuϵH1RN (2.2)
را در نظر می گیریم، این معادله در مسائل کاربردی مورد استفاده قرار می گیرد و تا کنون مطالعات متعددی تحت شرایط گوناگون روی fx,t،پیرامون وجود جواب های غیربدیهی این معادله صورت گرفته است.
جهت بررسی مسأله ی (1.2) شرایطی که روی fx,t اعمال می کنیم به شرح زیر است:
C1 : f : RN×R→R در شرط کاراتئودوری صادق باشد یعنی برای xϵRN، fx,t برای tϵR پیوسته باشد و fx,t برای tϵR نسبت به xϵRN اندازه پذیر لبگ باشد، برای t≥0 داشته باشیم fx,t≥0 و برای t<0 و همه ی xϵRN، fx,t≡0 باشد.
C2 : برای xϵRN، حد یکنواخت lims→о+fx,ssp-1=0 و برای xϵRN و برخی مقادیر lϵ(0,+∞) حد یکنواخت lims→+∞fx,ssp-1=l برقرار باشد.
C3 : برای هر xϵRN، fx,ttp-1 نسبت به t>0 ، صعودی باشد.
C4 : تابع ftϵCR ای وجود دارد طوری که برای هرx,tϵRN×R داریم fx,t≥ft و برای هر t>0، meas xϵRN : fx,t>ft>0 طوری که برای t های کراندار حد یکنواخت limx→+∞fx,t=ft برقرار باشد.
C5 : ftϵC1R و برای تمام t>0، داریم p-1ft<f’tt.
جواب های (1.2)، با نقاط بحرانی تابعک انرژی متناظر آن که به صورت
Iu=1pRN ∇up+mupdx+1qRN ∇uq+nuqdx -RN Fx,udx 3.2 روی فضای باناخ W≡W1,pRN∩W1,qRN که انعکاسی و جدایی پذیراست تعریف می شود، در ارتباط می باشند.
در این تعریف داریم Fx,u=0 ufx,sds . در تمام این فصل نرم برای هر uϵW به صورت
u=RN ∇up+mupdx1p+RN ∇uq+nuqdx1q تعریف می شود.
به وضوح اگر C1 تا C5 برقرار باشند، IϵC1W خواهد بود. برای بررسی وجود نقاط بحرانی Iu تحت شرایط C1 تا C5، طبیعی است که باید از قضیه ی مسیر کوهی استفاده کتیم. با توجه به C1 داریم IϵC1W . بنابراین با توجه به C1 و C2 ، شرایط لازم برای این قضیه برقرارند.
به



قیمت: 10000 تومان

متن کامل در سایت homatez.com

NameEmailWebsite

پاسخ دهید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *