user8192

دانشکده علوم
پایان‌نامه کارشناسی ارشد در رشته ریاضی محض(گرایش هندسه)
حلقه-گروه‌وارهای توپولوژیکی و بالابرها در فضاهای پوششی
به کوشش:
آمنه نوروزی
استاد راهنما:
دکتر محمد‌رضا فرهنگ‌دوستشهریور ماه 1391

به نام خدا
اظهار نامه
اینجانب آمنه نوروزی دانشجوی رشته ریاضی گرایش هندسه دانشگاه شیراز اظهار می‌کنم که این پایان نامه حاصل پژوهش خودم بوده و در جاهایی که از منابع دیگران استفاده کرده‌ام نشانی دقیق و مشخصات کامل آن را نوشته‌ام. هم‌چنین اظهار می‌کنم که تحقیق و موضوع پایان نامه‌ام تکراری نیست و تعهد می‌نمایم که بدون مجوز دانشگاه دستاوردهای آن را منتشر ننموده و در اختیار غیر قرار ندهم. کلیه حقوق این اثر مطابق آیین نامه مالکیت فردی و معنوی متعلق به دانشگاه شیراز است.
نام و نام خانوادگی: آمنه نوروزی
تاریخ و امضاء:

این مجموعه را به رسم قدر‌شناسی و سپاس قلبی
به استوارترین پشتوانه‌ی زندگی،
پدرم
و به دل‌انگیزترین رایحه‌ی مهر،
مادرم
تقدیم می‌کنم
تا بدانند چه اندازه ارج می‌نهم نگاه نگرانشان را بر صحنه‌ی زندگیم
و
تقدیم به همسر عزیزم
به پاس محبت‌های بی‌دریغش

سپاسگزاری
خدایا از تو سپا‌سگزارم که حتی برای دمی مرا به خود وا نگذاشته‌ای.
اکنون که به لطف و یاری پروردگار این تحقیق به پایان رسیده است، از پدرو مادر عزیزم که در تمام دوران تحصیل در کنارم بودند، همسر مهربانم که بدون حمایت‌های بی‌دریغ ایشان ادامه راه ممکن نبود، و خواهر عزیزم که در تمام مراحل زندگی و تحصیل همواره دوست و حامی من بودند، از صمیم قلب سپاسگزارم. برخود لازم می‌دانم که از استاد راهنمای بزرگوارم جناب آقای دکتر محمد‌رضا فرهنگ‌دوست، که با همراهی‌ها و همدلی‌ها، راهنمایی‌های ارزشمند وزحمات غیرقابل جبران خود، همواره پشتیبان من بودند، از صمیم قلب سپاسگزاری ‌کنم و از ایزد یکتا، آرزوی سلامتی و موفقیت روزافزون ایشان را دارم.
از استادان مشاور محترمم، جناب آقای دکتر بهمن طباطبایی و جناب آقای دکتر محمد مهدی ذکاوت، که هیچ‌گاه راهنمایی‌ها و داشته‌های خود را از من دریغ نفرمودند و زحمت مطالعه‌ی این پایان‌نامه را بر عهده داشتند، قدردانی می‌نمایم. از هم‌کلاسی خوبم، جناب آقای معارف‌پرور، به خاطر تمامی همراهی‌ها و کمک‌های بی‌دریغشان کمال تشکر را دارم و از خداوند برای ایشان عاقبتی نیکو مسئلت دارم.
در نهایت از تمامی عزیزانی که هر یک با قدمی یا قلمی و یا سخنی در عبور از این مسیر سبز، با یاری خود مرا مرهون محبت‌هایشان نمودند، سپاس فراوان دارم تا باشد که روزی جبران نمایم.
امید است که این پایان‌نامه مورد استفاده‌ی دانشجویان گرایش‌های مختلف ریاضی، به‌خصوص دانشجویان گرایش هندسه قرار گیرد و زمینه‌ی رشد، تعالی و گسترش شاخه‌های ریاضی در کشور عزیزمان ایران اسلامی را فراهم آورد، انشاءالله…

چکیده
حلقه-گروه‌وارهای توپولوژیکی و بالابرها در فضاهای پوششی
به کوشش:
آمنه نوروزی
دراین پایان‌نامه به بررسی ساختارهایی از گروه‌وارها، گروه‌وارهای توپولوژیکی، حلقه- گروه‌وارهای توپولوژیکی، ریخت‌های بین آنها، پوشش‌های گروه‌وارها و حلقه-گروه‌وارهای توپولوژیکی و بالابر‌ها در این زمینه می‌پردازیم. نشان می‌دهیم که مجموعه‌ی کلاس‌های هموتوپی از تمام مسیرها در یک حلقه‌ی توپولوژیکی، یک شیء حلقه‌ی توپولوژیکی می‌باشد. با فرض این‌که X⟶X:???? یک نگاشت پوششی و X یک حلقه‌ی توپولوژیکی باشد، نشان می‌دهیم رسته‌یUTRCov(X) از پوشش‌های Xکه در آن هر دوی X و X دارای پوشش‌های جهانی هستند و رسته‌ی UTRGdCov(π1X) از پوشش‌های حلقه-گروه‌وار توپولوژیکی π1X، که در آن X وR0=X دارای پوشش‌های عمومی هستند، هم‌ارز می‌باشند، که در مقاله‌ی ” حلقه-گروه‌وارهای توپولوژیکی و بالابر‌ها ” توسط “فتیح ازکن، ایسن و هابیل گورسوی” در سال 2006 بررسی شده است.

فهرست مطالب
عنوان
صفحه
فصل اول: مقدمه 1
تعاریف و قضایای استنادی 4
فصل دوم گروه‌وارها و گروه‌وارهای توپولوژیکی 15
فصل سوم عمل‌گروه‌وار و کاربرد آن در R-فضاها 42
فصل چهارم حلقه-گروه‌وارهای توپولوژیکی 63
فصل پنجم رستهها و بالابرها 85
منابع 93
واژه‌نامه فارسی به انگلیسی 97
واژه‌نامه انگلیسی به فارسی 103
فهرست نمودارها
عنوان و شماره صفحه
نمودار1 12
نمودار2 21
نمودار3 39
نمودار4 39
نمودار5 51
نمودار6 52
نمودار7 53
نمودار8 60
نمودار9 65
نمودار10 80
نمودار11 82
نمودار12 88

فصل اول

مقدمه
مفهوم گروه‌وارها در هندسه دیفرانسیل در سال 1950 توسط اریزمن مطرح شد که در واقع تعمیمی از گروه‌ها می‌باشد.یکی از نظریه‌هایی که بر مبنای گروه‌وارها می‌توان ساختارهای آن را مشخص کرد، نظریه‌ی فضاهای پوششی است. این نظریه یکی از مهم‌ترین نظریه‌ها در توپولوژی جبری است که با مطالعه‌ی رسته‌ها، گروه‌وارها و روابط بین آن‌ها در فضاهای پوششی، مفهوم پوشش بامعنا می‌شود که این روابط توسط براون، هاردی، آیسن و موسوک در مراجع [2,6,9,10,14,16]، مورد بررسی قرار گرفته است. در سال 1971، هایگنز نشان داد نظریه‌ی گروهوارهای پوششی نقش مهمی را در عملکرد گروه‌وارها ایفا می‌کنند. در این نظریه دو نتیجه‌ی مهم و کلیدی وجود دارد که بررسی توپولوژیکی این دو نتیجه، در سال 1976 توسط براون و هاردی در مرجع [2]، بیان شده است. طی این بررسی براون در سال 2006 در مرجع [1]، هم‌ارزی رسته‌ی TCov(X) از پوششهای توپولوژیکی X و رسته‌ی GdCov(π1X)از گروه‌وارهای پوششی گروهوار بنیادی π1X را برای فضای توپولوژیکی X که دارای پوشش جهانی می‌باشد، نشان داد.
در سال 1998، در مرجع [14]، موسوک نظریه‌ی حلقه-گروه‌وار را تعریف کرد. علاوه بر آن ثابت کرد که برای حلقه‌ی توپولوژیکی X، π1X یک حلقه-گروه‌وار می‌شود. سپس هم‌ارزی رسته‌ی TRCov(X) از پوشش‌های حلقه‌ای توپولوژیکی X و رسته‌ی RGdCov(π1X) از پوشش‌های حلقه-گروه‌واری π1X را نشان داد.
در فصل اول این پایان‌نامه، مفاهیمی از توپولوژی جبری مانند هموتوپی، هموتوپی‌راهی و اولین گروه بنیادی را بیان می‌کنیم. سپس تعاریفی از نگاشت‌های پوششی، بالابرها، رسته‌ها و تابعگون‌ها می‌آوریم و در آخر به مفاهیمی از فضاهای توپولوژیکی، گروه‌ها وحلقه‌ها می‌پردازیم.
در فصل دوم، گروه‌وارها و گروه‌وارهای توپولوژیکی را معرفی می‌نماییم، سپس مفاهیمی از هموتوپی و اولین گروه بنیادی روی گروه‌وارها را مورد بررسی قرار می‌دهیم.
در فصل سوم، عمل گروه‌وار Rروی یک مجموعهمانند S، مدول‌ ضربی گروه‌واری وR-فضاها را مطرح می‌کنیم و نشان می‌دهیم رسته‌ی TCov(R) از پوشش‌های توپولوژیکی، با رسته‌ی TOp(R) از R– فضاها هم‌ارز می‌باشد.
در فصل چهارم، حلقه-گروه‌وارهای توپولوژیکی، ایده‌آل‌های حلقه-گروه‌واری و قضایای مربوط به آن‌ها مورد بحث قرار می‌گیرد. همچنین در این فصل، ثابت می‌شود که گروه‌وار بنیادی π1X، یک حلقه-گروه‌وار توپولوژیکی است که از این مطلب در فصل پنجم برای تعریف رسته‌ها و هم‌ارزی بین آن‌ها استفاده می‌شود.
در فصل پنجم به معرفی رسته‌هایی در فضاهای پوششی و همچنین رسته‌هایی از پوشش‌های گروه‌واری می‌پردازیم و به کمک بالابرها هم‌ارزی بین UTRCov(X)، که یک زیررسته‌ی کامل از TRCov(X) می‌باشد و UTRGdCov(π1X) که یک زیررسته‌ی کامل از TRGdCov(π1X) می‌باشد، را نشان می‌دهیم. در نهایت نگاشت بالابرنده روی گروه‌وارهای پوششی را تعریف می‌کنیم.
تعاریف وقضایای استنادی
تعریف 1-1. توپولوژی گردایه‌ای مانند τ از زیرمجموعه‌های Xاست که در شرایط زیر صدق می‌کند.
1- ∅ و X متعلق به τ ‌باشند.
2- اجتماع اعضای هر زیرگردایه‌ی τ، متعلق به τ ‌باشد.
3- مقطع اعضای هر زیرگردایه‌ی متناهی τ، متعلق به τ‌ باشد.
تعریف 1-2. فضای توپولوژیک
مجموعه‌ی Xرا که برای آن توپولوژیی مانند τ مشخص شده است، فضای توپولوژیک می‌نامیم.
تعریف 1-3. پایه‌ی یک توپولوژی
فرض کنید X یک مجموعه باشد. یک پایه‌ی توپولوژی‌ در X گردایه‌ای از زیرمجموعه‌های X (موسوم به اعضای پایه) می‌باشد به‌طوری‌که:
1- به ازای هر x∈X، دست‌کم یک عضو پایه مانند B شامل x موجود است.
2- اگر x متعلق به مقطع دو عضو پایه مانند B1و B2 باشد، آن‌گاه عضوی از پایه مانند B3 وجود دارد به طوری‌که x∈B3 و B3⊂B1∩B2.
تعریف 1-4. اگر ???? پایه‌ی توپولوژی در Xباشد، آن‌گاه τ، توپولوژی تولید شده به وسیله‌ی ????، چنین تعریف می‌شود:
زیرمجموعه‌ی U از X را در X باز گوییم(یعنی عضوی از τ باشد)، اگر به‌ازای هر x∈U، عضوی از پایه مانند ????B∈ وجود داشته باشد به طوری‌که x∈B و B⊂U.
بنابر تعریف بالا، هر عضو ???? در X باز است، بنابراین ⊂τ????.
تعریف 1-5. توپولوژی حاصل‌ضربی
فرض کنید X وY دو فضای توپولوژیک باشند. توپولوژی حاصل‌ضربی در X×Yتوپولوژی است که پایه‌ی آن گردایه‌ی ???? متشکل از همه‌ی

متن کامل در سایت homatez.com
NameEmailWebsite

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *