مقاله درباره ، عمق، چندکی، چندک، Rd، r، αp، مینیمم

را تعریف کرده و سپس با معرفی یک تابع عمق خاص به نام تابع عمق نیم فضا و به کارگیری آن، مفهوم چندک را برای متغیرهای چند بعدی معرفی می کنیم.
2-2- تابع عمق
تابع حقیقی مقدار و غیر منفی D(x) که بر روی Rd تعریف شود و یک مفهوم مرکزی و ترتیبی روی Rd ایجاد کند را یک تابع عمق گویند. منظور از مفهوم مرکزی و ترتیبی این است که بتوان نقطه مرکزی داده ها را مشخص کرده و ترتیبی برای داده ها در نظر گرفت. مرکز نقطه ای است که بیشترین عمق را دارا باشد. در صورت وجود چند نقطه با بیشترین عمق، میانگین این نقاط را مرکز می گیرند. با فاصله گرفتن از نقطه مرکزی عمق نقاط کاهش یافته و لذا یک رابطه ترتیبی در Rd ایجاد می شود. لازم به ذکر است که توابع عمق متفاوتی وجود دارد و ما در این پایان نامه از تابع عمق نیم فضا بهره می جوئیم که در ادامه به آن اشاره می شود.
2-2-1- تابع عمق آماری
فرض کنیدF یک تابع توزیع باشد. هر تابع D(x,F) که یک مفهوم مرکزی و ترتیبی روی Rd بر اساس F ایجاد می کند را یک تابع عمق آماری گویند.
فرض کنید D(x,F) یک تابع عمق آماری باشد. اگر به جای x یک متغیر تصادفی قرار گیرد آنگاه تابع توزیع متغیر تصادفی DX,F به صورت معمول زیر تعریف می شود:
FDy=PDX,F<y , y>0 .2-2-1-1- ناحیه ی درونی عمق α
فرض کنید D(.,F) یک تابع عمق آماری باشد. ناحیه ی درونی عمق α به صورت
Iα,D,F=x: Dx,F> α , α>0معرفی می شود. لازم به ذکر است که I(0,D,F)=Rdدر ادامه یک تابع عمق آماری را ارائه و مفهوم تابع چندکی را توسط آن بیان می کنیم.
2-2-1-2- تابع عمق نیم فضا
وقتیکه H یک نیم فضای بسته Rd باشد، تابع عمق نیم فضا به صورت زیر تعریف می شود:
HDx,F= inf PH , x∈H.
برای روشن تر شدن مفهوم تابع عمق نیم فضا، d=2 را در نظر بگیرید. یک صفحه به صورت های مختلفی به نیم صفحه افراز می شود. HD(x,F) نیم صفحه ای را برمی گزیند که کمترین احتمال پوشش نقطه x را داشته باشد.
2-2-1-2-1- ناحیه ی درونی عمق نیم فضا
فرض کنید P یک تابع احتمال رویRd باشد. در صورتیکه H یک نیم فضای بسته Rd باشد، ناحیه ی درونی عمق نیم فضا به صورت زیر تعریف می شود:
Iα,HD,F=∩H: PH>1-α. برای مثال، فرض کنید d=2 است، آنگاه I(α,HD,F)ناحیه ای است که بین تمام نیم صفحه هایی که احتمال آنها از 1-α بزرگتر است، مشترک است.
شکل (2-1)، I(α,HD,F) را برای توزیع نرمال دو متغیره با α های متفاوت و شکل (2-2)، I(α,HD,F) را برای توزیع نمایی دو متغیره با α های متفاوت نشان می دهد.

شکل (2-1): ناحیه های درونی تودرتو برای توزیع نرمال دو متغیره

شکل (2-2): ناحیه های درونی تودرتو برای توزیع نمایی دو متغیره
2-2-1-3- ناحیه ی مرکزی p ام
بیشترین عمق کرانه ای که دارای ناحیه های درونی با احتمال بزرگتر یا مساوی p است را توسط αp نشان می دهیم. لازم به ذکر است که کرانه همان کانتور است.
(2-1) .αp=supα :PIα,D,F≥pبا توجه به تعریف، چون Iα,D,F نسبت به α نزولی است بنابراین وقتی α به αp صعود می کند ناحیه ی Iα,D,F بهI(αp ,D,F) نزول می یابد و داریم:
PIαp,D,F=limα↑αpPIα,D,F≥p .
درستی رابطه فوق در زیر توضیح داده شده است.
فرض کنید FD یک تابع توزیع پیوسته با عمق α باشد، داریم:
(2-2) P(I(α,D,F))=1-FDα
و اگر FD اکیدا صعودی باشد با توجه به روابط (2-1) و (2-2) خواهیم داشت:
FDαp=1-p → αp=FD-11-p .
اما در حالت کلی یعنی اگر شرط اکیدا صعودی را نداشته باشیم آنگاه:
FDαp≥1-pPIαp,D,F=limα↑αpPIα,D,F≥1-1-p=pبا توجه به توضیحاتی که گفته شد، کوچکترین ناحیه ی درونی با احتمال بزرگتر یا مساوی p وجود دارد که توسط C(p,D,F)=I(αp,D,F) نمایش داده می شود و ناحیه ی مرکزی p ام نامیده می شود.
2-2-1-4- ناحیه ی بیرونی p ام
برای هر α≥0 ناحیه ی بیرونی O(α,D,F) را توسط رابطه ی زیر تعریف می کنیم:
Oα,D,F=x: Dx,F≤α∩suppF .
که در آن منظور از suppF، تکیه گاه F می باشد.
کمترین عمق کرانه ای که احتمال ناحیه ی بیرونی بزرگتر از p دارد را توسط αp نشان می دهیم:
αp=infα :POα,D,F>p .با توجه به اینکه P(O(α,D,F))=FDα، بنابراین داریم:
FDαp=p,
و در نتیجه
αp=FD-1p.
تعریف2-1- کانتور عمق
به کرانه ∂Iα,D,F یعنی نقاط مرزی Iα,D,F ، کانتور عمق می گوئیم. علت این نامگذاری این است که ناحیه های درونی بر اساس تابع عمق ساخته شده اند.
2-2-1-5- سطوح چندکی بر اساس عمق
برای 0<p<1 کانتور عمق αp را به عنوان تابع چندکی ای می توان تفسیر کرد که با استفاده از رابطه ی
Qp,D,F=∂Iαp,D,F=∂Cp,D,F,مشخص می شود و آن را سطح چندک p ام می نامیم.
حالا با مشخص کردن نقاط رویQ(p,D,F) در جهت u از m یک تابع چندکی Q(u,p) حاصل می شود که در آن u∈Sd-1m می باشد و شرط 1و2 تابع چندکی که در بخش 1-2-2 بحث شد را دارد.
ناحیه های درونی چندک p ام به آسانی به عنوان ناحیه های مرتبط با عمق بالاتر تفسیر می شوند که نقاط مرزی دارای عمق αp و نقاط درونی دارای عمق بزرگتر یا مساوی αp هستند. بدین صورت شرط سوم تابع چندکی، گفته شده در بخش 1-2-2، نیز به خوبی حاصل می شود. با استفاده از توابع عمق متفاوت، نسخه های متفاوت توابع چندکی حاصل می شوند.
2-3- نتیجه گیری
در این فصل تابع چندکی را بر اساس تابع عمق بدست آوردیم و هر سه خاصیت تابع چندکی، گفته شده در بخش 1-2-2 نیز برقرار بودند. از اینرو تابع عمق در بدست آوردن تابع چندکی بسیار کارا است. در ضمن می دانیم که تابع چندکی ویژگی های خوب بسیاری را در اختیار ما می گذارد که می توانیم از طریق آنها چندک های چند متغیره را بطور مناسبی پیدا کنیم.
فصل سوم
چندک های چند متغیره براساس مینیمم کردن نرم
3-1- مقدمه
فرگوسن در سال 1967 با مینیمم کردن رابطه
(3-1) E{|Z-θ|+(2p-1)(Z-θ)}نسبت θ، چندک تک متغیره معمولی را بدست آورد. در سال 1992 ابدوس و تئودورس و در سال 1996 چادوری به طور متفاوت، رابطه (3-1) را به چند متغیره بسط داده اند. در این فصل ما این دو روش متفاوت از توسیع (3-1) برای حالت چند متغیره را معرفی کرده و برای هر روش، وجود تابع چندکی را مورد بررسی قرار می دهیم.
3-2-1- روش ابدوس و تئودورس (1992)
از آنجا که در رابطه (3-1) تابع قدر مطلق بکار گرفته شده است یک تعمیم طبیعی این می باشد که در فضای با بعد بالاتر به جای قدر مطلق از یک نرم خاص استفاده شود. ابدوس و تئودورس در سال 1992 برای 1≤r≤∞ و 0<p<1 تابع نرم را بدین صورت تعریف کردند:
xr,p=x1,…,xdr,p=x1+2p-1×12,…,xd+2p-1xd2r که در آن .r نرم اقلیدسی Lr رویRd است که می توان فرم های مختلفی را برای آن در نظر گرفت ولی در این پایان نامه به فرم زیر محاسبه می شود:x=xir1rچندک p ام، θr,p، زمانیکه x∈Rd باشد از مینیمم کردن X-θr,p-X r,p E، بدست می آید. بنابراین برای هر r در نرم Lr، چندک های برداری تعریف شده هم جهت و هم بزرگی (مقدار) دارند و توسط p∈(0,1) دسته بندی می شوند و برای ثابت r، با در نظر گرفتن متغیر p در بازه 0,1 و قرار دادن θr,p به عنوان تابع مورد نظر یک رویه در Rd با چندک های مرکزی و انتهایی متناظر با کوچکترین و بزرگترین مقدار p-12، p=0,12، تولید می شوند که در بخش 3-2-2 بیشتر به آن خواهیم پرداخت. به عنوان حالت خاص اگر r = 1 و d=1 باشد، آنگاه:
EX-θ1,p-X1,p=12EX-θ+2p-1X-θ-X-2p-1X=12EX-θ+2p-1X-2p-1θ-X-2p-1X=12EX-θ-X-2p-1θ(3-2) =12-∞∞x-θ-xfxdx –(2p-1)θباید (3-2) را روی θ مینیمم کنیم، بنابراین از این رابطه مشتق می گیریم و چون تابع داخل انتگرال نامنفی و پیوسته است، مشتق را وارد انتگرال می کنیم:
ddθ12-∞∞x-θ-xfxdx –(2p-1)θ= 12-∞∞ddθx-θ-xfxdx-(2p-1)=12-∞∞ddθx-θ fxdx-2p-1=12-∞θddθθ-xfxdx+θ∞ddθx-θfxdx-2p-1=12-∞θfxdx+θ∞-fxdx-2p-1از برابر صفر قرار دادن عبارت حاصل خواهیم داشت:
12-∞θfxdx+θ∞-fxdx-2p-1=0→Fθ-1-F(θ)-2p-1=0→Fθ=p→θ=F-1p ام pچندکبنابراین، در فضای یک بعدی با مینیمم کردن θ در رابطه 3-2 چندک p ام بدست می آید. با تعمیم این روند به فضای چند بعدی، چندکهای چند متغیره حاصل می شود.
برای r = 1 ، θ1,p را بردار چندک های p ام تک متغیره کناری می نامیم. برای r=2 ، به θ2,0.5 میانه ی فضایی گفته می شود.

3-2-2- بررسی تابع چندکی Qu,p توسط چندک های θr,pدر این بخش وجود تابع چندکی Qu,p توسط چندک های θr,p برای r ثابت را بررسی می کنیم. بنابراین ابتدا از میانه که در اینجا Qu,0=θr,0.5=m می باشد به عنوان نقطه ی شروع فرمول تابع چندکی استفاده می کنیم. متاسفانه یک خانواده از ناحیه های درونی تودرتو دیده نمی شود. برای مثال، مجموعه های Ar,t=θr,s:s-12≤t برای 0≤t<12 را در نظر بگیرید. برای r ثابت، Ar,t یک منحنی در Rd است. بنابراین برای r ثابت منحنی دارای ساختار تودرتو نمی باشد، یعنی اینکه برای ساختن تابع چندکی بایستی میانه، که در اینجا θr,0.5 می باشد مرکز واقع گردد و با جهت دادن از مرکز، ناحیه های تودرتو شکل بگیرد و همگی حول مرکز واقع گردند که در اینجا چنین چیزی رخ نمی دهد. به عبارت دیگر، احتمال اینکه ناحیه ی درونی چندک p ام اتفاق بیفتد صفر است و بنابراین خواص 1و3 گفته شده در بخش 1-2-2 را دارا نمی باشد. در نتیجه، نمی توانیم یک تابع چندکی Qu,p توسط چندک های θr,p داشته باشیم.
3-3-1- روش چادوری
چادوری در

  • 1
متن کامل در سایت homatez.com