مقاله درمورد ، چندک، چندکی، میانه، مشتق، Rd، کنیم.، Qu,p

سال 1996، رابطه (3-1) را از طریق یک تفسیر متفاوت به Rd بسط داده است. ابتدا (3-1) را به شکل دیگری باز نویسی می کنیم:
EZ-θ+u(Z-θ)که در آن u = 2p-1 می باشد. بنابراین چندک p ام برای p∈(0,1) توسط u∈(-1,1) دسته بندی می شود. با توسیع u به حالت چند متغیره، کره ی واحد بازBd-10 حاصل می شود و توسط آن چندک های d بعدی تشکیل می شوند.
روش چادوری در بدست آوردن چندک چند متغیره به صورت زیر می باشد:
چندک u امQ(u) ، x∈Rd، حاصل می گردد هرگاهQ(u) ، ϕ(u,X)}-u,X-θ)) ϕ} Eرا می نیمم کند که در اینجا ϕu,t=t+<u,t> می باشد که در اینجا منظور از <.,.> ، ضرب داخلی روی فضای Rd می باشد.
در مقایسه با روش ابدوس و تئودورس برای حالت نرم L2 ما دوباره چندک های برداری داریم که هم جهت و هم بزرگی (مقدار) دارند و میانه ی فضایی، مرکز را ایجاد می کنند یعنی Q(0) مبدا است، بنابراین Q(0)= θ2,12 .
نقاط در Rd غیر از m تحت این دو سیستم چندکی تفسیرهای متفاوتی دارند.
برای مقایسه ی بهتر روش چادوری با روش ابدوس و تئودورس، تابع زیان یک متغیره Lu,t=t+ut که در آن u∈-1,1 t∈R , هستند را در نظر می گیریم. ابدوس و تئودورس با تعمیم L2p-1,t ، t∈R، به حالت چند متغیره با استفاده از نرم L2 به فرم L2p-1,t1,…,L2p-1,tdکه همان نرم اقلیدسی است، برای p∈0,1 و t=t1,…,td∈Rd، چندک p ام در Rd را بدست آوردند. اما چادوری در سال 1996 چندک u ام )برای (u∈Bd-10 در Rd را با تعمیم L(u,t) به ϕ(u,t)، t∈Rd ,u∈Bd-10 بدست آورد.
چادوری چندک Q(u)را برای حالت u=0، چندک مرکزی و برای حالت =1 u چندک انتهایی نامید.وقتی n مشاهده داشته باشیم، u میزان انحراف Qnuاز مرکز m را ارائه می دهد. دراینجا با ذکر چند نکته این موضوع را روشن می کنیم.
الف- میزان انحراف به صورت فاصله اقلیدسی بین Q(u) و mنیست.
ب- فاصله از m بطور یکنواخت درu افزایش نمی یابد.
ج- برای d≥2 اندازه u تفسیر احتمالی ندارد. اما در حالت یک متغیره با در نظر گرفتن u=2p-1 تفسیر احتمالی خواهد داشت.
د- در حالیکه ناحیه ی Q(u): u <0.5 در حالت یک متغیره برای ≤p≤34 14 (یعنی ناحیه ی درون چارکی) با چندک p ام ارتباط دارد، برای 2 d≥ در ارائه چنین تعبیری، که در ادبیات از آن با عنوان نیمه میانی یاد می شود، ناتوان است.
حال با ارائه مثالی در حالت یک متغیره به بررسی خواص ذکر شده می پردازیم.
مثال 3-1:
F=0.5F1+0.5F2 را در نظر بگیرید، که F2 و F1 به ترتیب توزیع های یکنواخت(مستطیلی) روی 0,1 و -100,0 هستند. در این صورت:
Fx=0 x<-1000.5F1x -100≤x<00.5+0.5F2x 0≤x<11 x≥1 آنگاه m=0 و چون u=2p-1 درنتیجه Q(u) برای u های مختلف به شکل زیر می باشد:
Q0.5=F-10.75=0.5
Q-0.5=F-10.25=-50 Q-0.1=F-10.45=-10در اینجا دو چندک Qn±u که Q برآورد Q است، با u=0.5 را محاسبه کردیم که انحراف از m به وضوح دیده می شود و نشان دهنده ی نکته ی الف می باشد. دو چندک Qnuو Qnu برای u=-0.1<0.5=u بصورت Qnu=10>0.5=Qnu می باشد که نشان دهنده ی نکته ب می باشد.
3-3-2- بررسی تابع چندکی Qu,p توسط چندک های Q(u)
در این بخش وجود تابع چندکی Qu,p با استفاده از Q(u) را مورد بررسی قرار می دهیم. بدین منظور ابتدا از میانه یعنیQu,0= Q0=m ، شروع می کنیم. برای مثال مجموعه های Bt= Qu :u <t برای 0≤t<1 را در نظر می گیریم. این مجموعه ها به طور طبیعی ناحیه های درونی تو در تو را ایجاد می کنند.
با قرار دادن tp=inft:P(Bt)≥p و جهت uاز m، نقاط کرانه ای Btp ( برای Q(u ) هایی که u =tp) یک تابع چندکی Qu,p را ایجاد می کند که شرایط 1 و 2 تابع چندکی را دارا است. بطور خاص، این موضوع توسط یک ناحیه درون چارکی با حجم داده شده، به عنوان یک مثال از برد میان چارکی تک متغیره، به آسانی دیده می شود. به هر حال، پارامترهایu و u بکارگرفته شده در Q(u ) و Qu,p دارای یک مضمون نمی باشند. لذا، نمی توانند به خوبی از عهده تفسیر ویژگی 3 ذکر شده در بخش 1-2-2 برآیند. به عبارت دیگر ارتباط بین پارامترهای u در Q(u ) و پارامترهایu,p برایQu =Qu,p مبهم می باشد که تفسیر سختی از ناحیه درونی چندک p ام Btp بعنوان یک مجموعه در Rd می سازد . اگرچه u بعنوان یک مدلی از اندازه زیرین یا تودرتو بودن، تفسیر می شود. اما شرط 3 از شرایط تابع چندکی گفته شده در بخش 1-2-2 برقرار نمی باشد.
یک خاصیت قوی: در نظر بگیرید Qn(u) برای یک سری داده x1,…,xn محاسبه می شود و فرض کنید برای u داده شده و 1≤i≤n ،Qn(u)≠xi باشد آنگاه:
-1ni=1nxi-Qnu / xi-Qn(u)=uدر اینجا نتیجه می شود که Qn(u) تنها از طریق بردار جهت u به xi ها وابسته است. بنابراین اگر نقاط xi در امتداد شعاعشان نسبت به Qn(u) به طرف بیرون حرکت کنند، مقدار Qn(u) برای u ثابت، ثابت باقی می ماند.
3-4- نتیجه گیری
در این فصل با استفاده از دو روش متفاوت در بسط رابطه 3-1، چندک چند متغیره را محاسبه کردیم. روش ابدوس و تئودورس در بدست آوردن تابع چندکی ناموفق بود. ولی با استفاده از روش چادوری تابع چندکی بدست آمد. اما به دلیل اینکه ویژگی سوم تابع چندکی حاصل نشد، تابع چندکی بدست آمده خیلی مفید نیست.
فصل چهارم
چندک های چند متغیره داده ای براساس شیب
4-1- مقدمه
برای داده های تک متغیره x1,…,xn میانه، عبارت Dθ=xi-θ را مینیمم می کند و با حل Sθ=-sgnxi-θ=0 که در آن
sgnx=1x≥00x<0, و Sθ مشتق Dθ می باشد، بدست می آید. تابع Sθ را می توانیم به عنوان چندک تفسیر کنیم. در این فصل با ذکر چند مثال، چندکهای چند متغیره را بر اساس روش مشتق گیری مورد بررسی قرار می دهیم.
4-2- بکارگیری روش مشتق گیری در بدست آوردن چندک های چند متغیره
D3θ, D2θ, D1(θ) را به صورت زیر در نظر بگیرید و .r، r=1,2 ، در روابط زیر، نرم اقلیدسی Lr می باشد:
D1θ=xi-θ1D2θ=xi-θ2D3θ=1<i1<…<id<nd!Vθ,xi1,…,xidکه Vyi1,…,yid+1 حجم ساده در Rd با رئوس yi1,…,yid+1 می باشد.
با مشتق گرفتن از D3θ, D2θ, D1(θ) ، S1θ ، S2(θ) و S3(θ) حاصل می شوند که با برابر قرار دادن هر کدام با صفر به ترتیب میانه ی مولفه ای ، میانه ی فضایی و میانه ی اوجا حاصل می شوند.
تذکر آن که مشتق ها در حالت 2 d≥ بعنوان ایده های چند متغیره ی آماره آزمون علامت و چندک (بطور همزمان) تفسیر می شوند که در ادامه به آن می پردازیم.
4-3- آزمون علامت
4-3-1- آزمون علامت برای حالت تک متغیره
متغیر تصادفی پیوسته ی X~F را در نظر بگیرید و فرض کنید m میانه ی توزیع باشد ؛ یعنی PX≤m=PX≥m=12 . می خواهیم فرض H0:m=m0 را در مقابل Ha:m>m0 آزمون کنیم. حال یک نمونه ی تصادفی n تایی اختیار می کنیم و فرض می کنیم T تعداد xiهایی باشد که کمتر از m0 هستند.
یعنی می توانیم علامت xi-mi ، i=1,…,n ، را در نظر بگیریم و فرض کنیم:
تعداد علامت های منفی T=
توجه شود که واقعاً به داده های با مقیاس فاصله ای نیاز نداریم، فقط باید بتوانیم پاسخها را برحسب کوچکتر از m0 یا بزرگتر از m0 رتبه بندی کنیم.
با فرض H0:m=m0 ؛ داریم PX≤m0=PXi-m0≤0=12 بنابراین، احتمال یک علامت منفی تحت فرض صفر برابر است با p0=12. تحت فرض مقابل m1>m0 داریم:
p1=PX≤m0<PX≤m1=12بدیهی است که آماره ی T دارای توزیع دو جمله ای با پارامتر p و n بوده و به ازای m=m0،
T~BINn,p0 , p0=PX≤m0=12 .قضیه: فرض کنید X~F و Fm=12 . آزمون در سطح برای H0:m=m0 در مقابل Ha:m>m0 را در نظر بگیرید. فرض H0 را رد می کنیم اگر:
B(t,n,12)≤α
که در آن t تعداد علامت های منفی xi-m0 برای i=1,…,n است.
4-3-2- آماره آزمون علامت برای حالت چند متغیره
آزمون علامت برای آزمون فرضیات پیرامون چندکها استفاده می شود و در گذشته به دلیل اینکه در حالت چند متغیره ترتیب نقاط مشخص نبودند نمی توانستیم چندک ها را محاسبه کنیم، از اینرو نمی توانستیم از آزمون علامت برای حالت چند متغیره استفاده کنیم. در این رساله به روش های متفاوتی چندک ها را در حالت چند متغیره بدست آوردیم، بنابراین در اینجا قادر هستیم از آزمون علامت استفاده کنیم.
اگر X=x1,…,xn یک نمونه تصادفی از یک توزیع K متغیره با تابع توزیع F و تابع چگالی f باشد که حول θ متقارن است و فرض صفر را H0 : θ=0 در نظر بگیرید، آنگاه آماره آزمون به شکل زیر می باشد:
Wmn=n-mi1=1n…im=1nSxi1+…+ximکه در آن Sx={ 0 , x=0x-1x , x≠0 و m=1,2,… که عددی دلخواه می باشد. اگر m=1 باشد آنگاه آماره آزمون علامت فضا و اگر m=2 باشد آماره آزمون رتبه علامت دار فضا بدست می آید.
4-3-2-1- آماره آزمون علامت فضا در حالت یک متغیره
W1n=1ni=1nxixi=1ni=1nsgnxiکه چون xi ها حول θ متقارن هستند بنابراین تابع زیر را تعریف می کنیم:
W1nθ1n=1ni=1nsgnxi-θاز برابر صفر قرار دادن W1nθ1n، برآورد θ1n حاصل می شود و با توجه به اینکه W1nθ1n در اینجا معادل با Sθ ای هست که در ابتدای این فصل با مشتق گیری از Dθ حاصل شد بنابراین در اینجا برآورد θ1n همان میانه خواهد بود.
4-4- تابع چندکی بر اساس روش مشتق گیری
از برابر صفر قرار دادنSiθ ها، میانه حاصل می شود و همچنین S2(θ) و S3(θ) به ترتیب آماره آزمون علامت فضا و اوجا را ارائه می کنند.
در این فصل ذکر شد که در بدست آوردن چندک های چند متغیره بر اساس مشتق گیری، تنها میانه حاصل می شود که متاسفانه این روش چندک های دیگر را به ما نمی دهد. بنابراین این روش و چنین آماره های حاصل (آماره آزمون علامت

  • 1
متن کامل در سایت homatez.com