مقاله با موضوع ، گروه‌وار، R، ، به‌ازای، نگاشت‌های، این‌صورت، ,

aاز ????، ریخت τa:Fa→Gaاز ???? را چنان نسبت می‌دهد که به‌ازای هر ریخت f:a→bاز ????، Gfoτa=τboFf. به‌عبارت دیگر نمودار زیر جابه‌جایی است:
F(a)G(a)F(b)G(b)τaF(f)G(f)τb
نمودار1.
اگر برای هر a∈C، τaیکریختی باشد، آن‌گاه τ را یکریختی طبیعی می‌نامیم.
تعریف 1-36. هم‌ارزی رسته‌ها
اگر تابعگون‌های F:C→Dو G:D→C و یکریختی‌های طبیعی τ:FoG→idDو σ:GoF→idCموجود باشند، رسته‌های ????و ???? را هم‌ارز گوییم.
قضیه 1-38. فرض کنید Gیک گروه و Hزیرمجموعه‌ای غیرتهی از Gباشد. در این‌صورت H≤G (H زیر گروه G است) اگر و فقط اگر به‌ازای هر a,b∈H، داشته باشیم ab-1∈H.
برهان. به مرجع [7]، مراجعه کنید.
قضیه 1-40. فرض کنید R,+,∙یک حلقه و Sیک زیرمجموعه‌ی غیرتهی از Rباشد. در این‌صورت Sیک زیرحلقه از Rاست اگر وفقط اگر
1- به‌ازای هر a,b∈S، a-b∈S.
2- به‌ازای هر a,b∈S، ab∈S.
برهان. به مرجع [7]، مراجعه کنید.
نکته1-41. اگر R و Rʹدو حلقه باشند، با تعریف ضرب‌ گروهی a,b+c,d=(a+b,c+d)، ضرب‌ حلقه‌ای a,bc,d=(ab,cd)و (-a,-b) به عنوان معکوس گروهی (a,b)، جایی‌که -aمعکوس a در Rو -bمعکوسb در Rʹمی‌باشد و همچنین با درنظر گرفتن e,eʹبه عنوان عنصر همانی R×Rʹ، جایی‌که eعضو همانی Rو eʹ عضو همانی Rʹمی‌باشد، R×Rʹ نیز یک حلقه است.
تعریف 1-42. همریختی گروهی
فرض کنید (G,∙)و (H,*)دو گروه باشند. یک تابع f:G→Hرا یک همریختی از گروه Gبه گروه Hنامند اگر به‌ازای هر a,b∈G، fa∘b=fa*f(b).
تعریف 1-43. همریختی حلقه‌ای
فرض کنید (R,+,∙)و Rʹ,⊕,∘ دو حلقه و f:R→Rʹ یک تابع باشد. در این‌صورت fرا یک همریختی حلقه‌ای از Rبه Rʹگوییم اگر به‌ازای هر a,b∈R،
1- .fa+b=fa⊕fb2- . fab=f(a)∘fbتعریف 1-44. فرض کنید R,+,∙یک حلقه و Iیک زیرحلقه از Rباشد. در این‌صورت
1- اگر به‌ازای هر r∈Rو هر a∈I، ra∈I، I را یک ایده‌آل چپ Rگوییم.
2- اگر به‌ازای هر r∈R و هر a∈I، ar∈I، I را یک ایده‌آل راست Rگوییم.
3- اگر I هم یک ایده‌آل چپ و هم یک ایده‌آل راست R باشد، I را یک ایده‌آل Rگوییم.
فصل دوم

گروه‌وارها و گروه‌وارهای توپولوژیکی
تعریف 2-1. گروه‌وار
یک گروه‌وار، یک رسته است که تشکیل شده از دو مجموعه‌ی R وR0 که به‌ ترتیب مجموعه‌ی ریخت‌ها ومجموعه‌ی اشیاء گروه‌وار نامیده می‌شوند به همراه نگاشت‌های زیر:
1- دو نگاشت α:R→R0 و β:R→R0 که به‌ ترتیب نگاشت‌های منبع وهدف نامیده می‌شوند.
2- نگاشت
1( ):R0→R
x→1x
که نگاشت شیء نامیده می‌شود.
3- نگاشت معکوس
i:R→R
a→a-1
4- نگاشت ترکیب
Rα× β R→R
(b,a)→boa
جایی‌که
Rα× β R=(b,a)αb=β(a)
همچنین نگاشت‌ها باید در شرایط زیر صدق کنند:
1- برای هر b,a ϵRα× β R داریم:
αboa=α(a)
و
βboa=β(b)
2- برای هر a,b,cϵR به‌طوری‌که αc=βb وαb=β(a) داریم:
coboa=coboa
3- برای هر x∈R، جایی که 1x همانی در xاست، داریم:
α1x=β1x=x
4- برای هر a∈R داریم:
a o1α(a)=aو
1β(a)oa=a
5-هر عنصر a∈R دارای یک وارون a-1 است به طوری که
αa-1=β(a)
و
βa-1=α(a)
نکته 2-2. با توجه به شرط 5 ترکیب‌هایaoa-1 وa-1oa با معنا می‌باشند وداریم:
aoa-1=1β(a)و
a-1oa=1α(a)
گزاره 2-3. فرض کنید R یک گروه‌وار روی R0باشد وr∈R کهαr=x و βr=y در این صورت
1- اگر h∈R، αh=y و hor=r آن‌گاهh=1y .
2- اگر j∈R، βj=x و roj=r آن‌گاهj=1x .
3- اگر h∈R، αh=y و hor=1x آن‌گاهh=r-1 .
4- اگر j∈R،βj=x و roj=1y آن‌گاهj=r-1 .
برهان قسمت 1-
داریم hor=r. بنابراین horor-1=ror-1 . لذا .ho1β(r)=1β(r)بنابراین داریم:
h=ho1α(h)=ho1y=ho1β(r)=1β(r)=1y
برهان قسمت 2-
roj=r، بنابراین 1α(r)oj=1α(r). در نتیجه
j=1β(j)oj=1α(r)oj=1α(r)=1xبرهان قسمت 3-
h=ho1α(h)=ho1β(r)=horor-1=horor-1=1xor-1= 1α(r)or-1 =1β(r-1)or-1=r-1
برهان قسمت 4-
j=1β(j)oj=1α(r)0j=r-1oroj=r-1o1y=r-1o1β(r)=r-1این قسمت از گزاره نشان می‌دهد معکوس یکتاست.■

تعریف 2-4. اگر R یک گروه‌وار باشد، برای x,y∈R0 مجموعه‌ی همه‌ی ریخت‌های a∈R
را که αa=xو βa=y با R(x,y)نشان می‌دهیم.
مثال 2-5. ثابت می‌کنیم هر گروه خود یک گروه‌وار است.
فرض کنیم R یک گروه باشد. با در نظر گرفتن عضو همانی گروه به عنوان مجموعه اشیاء گروه‌وار و در نظر گرفتن خود R به عنوان ریخت‌های گروه‌وار، نگاشت‌ها را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:
نگاشت منبع و هدف
α,β:R→e
a→eنگاشت شیء
1( ):e→R e→eنگاشت معکوس
i:R→R a→a-1جایی‌که a-1 وارون عنصرa در گروه Rمی‌باشد.
نگاشت ترکیب
O:R α× βR→R
(a,b)→aobنگاشت ترکیب را همان عمل گروه رویa و bمی‌گیریم.
نشان می‌دهیم که شرایط گروه‌وار را دارد:
1- αboa=e=αa , βboa=e=β(a) 2- برای هرa,b,c∈R،چون عمل گروه دارای خاصیت شرکت‌پذیری است، بنابراین داریم:
coboa=coboa3- α1e=e , β1e=e
4- ao1α(a)=ao1e=aoe=a , 1β(a)oa=1eoa=eoa=a 5- βa-1=e=αa , αa-1=e=βa
و
aoa-1=e=1e=1β(a) , a-1oa=e=1e=1α(a)تعریف 2-6. برای x∈R0،StRx یا Rx مجموعه‌ی همه‌ی ریخت‌هایی است که باx شروع می‌شود و CoStRxیا Rx مجموعه‌ی همه‌ی ریخت‌هایی است که با xبه پایان می‌رسند. یعنی
StRx=α-1xو
CoStRx=β-1(x)تعریف 2-7.‌ مجموعه
Rx=Rx,x=StRx∩CoStRx= a∈Rαa=βa=x ‌را گروه راسی یا شئ‌ای در xمی‌نامیم.
برای هر a,b∈R (x)، چون αaob=αb=x و βaob=βa=x پس aob∈R(x)، و با در نظر گرفتن 1x به عنوان عضو همانی وa-1=a به عنوان وارون a می‌بینیم کهR(x) یک گروه می‌باشد.
تعریف 2-8. گروه‌وار متعدی
اگر برای هرx,y∈R0 داشته باشیم ،R(x,y)≠∅گروه‌وارR را متعدی گوییمواگر برای هر x,y∈R0،R(x,y) فقط یک عنصر داشته باشد،Rرا 1-متعدی گوییم. .
مثال 2-9. حاصل‌ضرب دو گروه‌وار
فرض کنید R,R0و(R΄,R0΄) دو گروه‌وار باشند. نشان می‌دهیم (R×Rʹ,R0×R0΄) یک گروه‌وار می‌باشد که آن را حاصل‌ضرب (R,R0)و R΄,R0΄می‌نامیم.
اگر گروه‌وار(R,R0) را با نگاشت‌های α، β، 1x، iوO و گروه‌وار (R΄,R0΄) را با نگاشت‌های αʹ، βʹ، 1x΄، iʹو O΄در نظر بگیریم،(R×Rʹ,R0×R0΄) با نگاشت‌های زیر گروه‌وار است:
نگاشت منبع و هدف:
α̋=α×αʹ:R×Rʹ→R0×R0ʹ
r1,r2→(αr1,αʹ(r2))
و
β̋=β×βʹ:R×Rʹ→R0×R0ʹ
r1,r2→(βr1,βʹ(r2))
نگاشت شیء:
1( )̋=1( )×1( )ʹ:R×Rʹ→R0×R0ʹ
x,xʹ→(1x,1xʹ)
نگاشت معکوس
i̋=i×iʹ:R×Rʹ→R×Rʹ
r1,r2→(ir1,iʹ(r2))
نگاشت ترکیب
Ő=O×Oʹ:(R×Rʹ)2→R×Rʹ
r1,r1ʹ,r2,r2ʹ→(Or1,r2,Oʹ(r1ʹ,r2ʹ))
جایی‌که
(R×Rʹ)2 =r1,r1ʹ,r2,r2ʹα×αʹr1,r1ʹ=(β×βʹ)r2,r2ʹ =r1,r1ʹ,r2,r2ʹαr1=βr2 , αʹr1ʹ=ʹ(r2ʹ)
به راحتی دیده می‌شود که این نگاشت‌ها در شرایط گروه‌وار نیز صدق می‌کنند.
HH0fRR0f0αH,βHαR,βR
نمودار2.
توجه کنید شرایطαRof=f0oαH و βRof=f0oβHنشان می‌دهند که هرگاهboa تعریف شده باشد، fbof(a) نیز تعریف می‌شود. زیرا در این‌صورت داریم:
αRf(b)=f0αHb=f0βH(b)=βR(f(b))
تعریف 2-11. ریخت حافظ پایه
اگر H0=R0 وf0=idH0 ، می‌گوییم fیک ریخت روی H0است یا f یک ریخت حافظ پایه است.
مثال 2-12. اگرR یک گروه‌وار روی R0، به ترتیب با نگاشت‌های منبع و هدفα و β باشد، در این‌صورت نگاشت
f=β,α:R→R0×R0
r→βr,αr
یک ریخت حافظ پایه از گروه‌وارها می‌باشد.
زیرا R0×R0 با نگاشت‌های زیر یک گروه‌وار روی R0 می‌باشد.
نگاشت منبع
αʹ:R0×R0→R0
(x,y)→y
نگاشت هدف
βʹ:R0×R0→R0
(x,y)→x
نگاشت شیء
1( ):R0→R0×R0
x→x,x
نگاشت معکوس
i:R0×R0→R0×R0
x,y→(y,x)

متن کامل در سایت homatez.com