پایان نامه درباره ، C1، ϵ، Ω، صدق، باشد. ، کراندار، fx,t

گوییم X به طور فشرده در Y نشانده می شود هرگاه عملگر نشاندن I فشرده باشد.
1-7-9. قضیه(نامساوی سوبولف برای p<n): 32 فرض کنید Ω یک دامنه در Rn باشد و 1≤p<n و q=npn-p. آنگاه ثابت c=cn,p وجود دارد طوری که برای هر uϵC1Ω داریم:
uq≤c∇up
در نامساوی فوق ∇up=∇up dx1p می باشد.
1-7-10. قضیه(انقباض-فشردگی): 32 فرض کنید 1≤p<n، 1q=1p-1N و um→u در Wо1,pRN همگرا باشد و ump⇀μ و umq⇀γ به طور ضعیف به مفهوم اندزه همگرا باشند که μ , γ دو اندازه ی نامنفی و کراندار در RN می باشند. در این صورت
حداکثر یک مجموعه اندیس شمارای I، گردایه های xj; j ϵ I از نقاط متمایز γj; j ϵ I موجود است طوری که
ν=uq+jϵIγjδxj که δx تابع دلتای دیراک است.
به علاوه داریم
μ≥∇up+jϵIμjδxj , μj≥cγjpq که c ثابت به کار رفته در قضیه ی (1-7-9) می باشد.
1-7-11 . قضیه(نشاندن سوبولف برای p<n): 32 فرض کنید Ω دامنه ای در Rn باشد. آنگاه W1,pΩ در LqΩ به طور پیوسته نشانده می شود به شرط اینکه p<n و 1≤q≤npn-p. به علاوه این نشاندن فشرده است، هرگاه q<npn-p.
1-7-12. قضیه(نشاندن سوبولف برای p>n): 23 اگر p>n و Ω یک دامنه ی کراندار در Rn باشد آنگاه Wо1,pΩ⊂CαΩ یک نشاندن پیوسته برای α=1-np می باشد.
1-8 . روش های حساب تغییرات
1-8-1. تعریف(جواب ضعیف):
عملگر دیفرانسیلی خطی مرتبه ی m ام که به صورت
Lu=α≤maαxDαu تعریف می شود را در نظر می گیریم که در آن هر aαx یک تابع حقیقی مقدار است و معمولا فرض می کنیم که aαϵCαΩ.
تابع uϵLloc1Ω یک جواب ضعیف Lu=fϵLloc1Ω نامیده می شود هرگاه
Ω ν Ludx=Ω f ν dx , ∀ν ϵ Wо1,2Ω ∀ν ϵ C∞Ω یا توجه کنید که جواب کلاسیک از Lu=f روی Ω در حالت کلی به صورت تابع u ای تعریف می شد طوری که m مرتبه روی Ω مشتق پذیر بود و به ازای هر x ϵ Ω در Lu=f صدق می کرد.
1-8-2. تعریف(روش تغییراتی):
یافتن یک جواب ضعیف به عنوان یک نقطه ی بحرانی از یک تابعک غیر خطی روش تغییراتی برای حل یک معادله با مشتقات جزئی نامیده می شود.
1-8-3. تعریف(شرط پالایز-اسمال): 24 فرض کنید F : RN→R نگاشت C1 باشد و xn دنباله ای باشد که
Fxn کراندار باشد.
F’xn→0 وقتی که n→∞ .
آنگاه xn زیردنباله ای همگرا دارد. مفروضات فوق را شرط پالایز-اسمال و دنباله ای که در این شرط صدق می کند، دنباله ی پالایز-اسمال می نامند.
1-8-4. قضیه(مسیرکوهی): 24 فرض کنید X فضای باناخ حقیقی باشد و Bρ(0) نشان دهنده ی گوی به مرکز مبدأ و شعاع ρ باشد و همچنین فرض کنید که F تابعک C1 روی X باشد که در شرایط زیر صدق کند:
F(0)=0،
به ازای هر ρ>0، α>0 ای باشد طوری که F│∂Bρ(0)≥α،
به ازای هر x ϵ XBρ(0)، Fx≤0و فرض کنید که مسیر بین صفر و x همبند باشد، به این معنی که هر تابع واصل این دو نقطه، پیوسته و به صورت g :[0,1]→X با g(0)=0 و g1=x است. چون g باید از ∂Bρ(0) عبور کند و از شرط (2) می دانیم که
max0≤t≤1Fgt≥α حال فرض می کنیم که Γ مجموعه ی همه ی مسیرهای پیوسته بین صفر و x باشد و
h=infgϵΓmaxо≤t≤1Fgt نشان دهنده ی ارتفاع مسیر کوهی باشد(توجه شود که h≥α)،
اگرF در شرط پالایز-اسمال نیز صدق کند،
آنگاه F نقطه ی بحرانی xо ای دارد طوری که Fxо=h. .
فصل دوم
وجود یک جواب غیربدیهی برای مسأله ی p و q-لاپلاسین
با غیرخطی مجانبی
مقدمه:
مسأله ی بیضوی نوع qو p-لاپلاسین زیر را در نظر می گیریم
-∆pu+mup-2u-∆qu+nuq-2u=fx,u x∈RNu∈W1,pRN∩W1,q(RN) 1.2 طوری که در آن m,n>0، N≥3، 1<q<p<N و∆su=div∇us-2 ∇u و زمانی که u→+∞، fx,uup-1 به یک ثابت مثبت میل می کند.
در این فصل می خواهیم ثابت کنیم که این مسأله دارای یک جواب غیربدیهی در RN است، حتی اگر برای x,uϵRN×R+ غیرخطی fx,t در شرط (شرط آمبروستی-رابینز(AR))
0≤Fx,u≡0 ufx,sds≤1p+θfx,uu صدق نکند.
جهت اثبات وجود این جواب، در بخش اول به بررسی برخی نتایج اولیه در قالب چند لم می پردازیم، در ادامه نتایج اصلی خود را در بخش دوم و سوم در هر بخش در قالب یک قضیه مطرح نموده و به اثبات آن خواهیم پرداخت. در واقع جهت اثبات نتایج خود و دست یافتن به جواب مسأله ی (1.2) نتیجه ی اصلی در 17 را تعمیم خواهیم داد.
معادله ی خطی
-∆u+mu=fx,u , xϵRNuϵH1RN (2.2)
را در نظر می گیریم، این معادله در مسائل کاربردی مورد استفاده قرار می گیرد و تا کنون مطالعات متعددی تحت شرایط گوناگون روی fx,t،پیرامون وجود جواب های غیربدیهی این معادله صورت گرفته است.
جهت بررسی مسأله ی (1.2) شرایطی که روی fx,t اعمال می کنیم به شرح زیر است:
C1 : f : RN×R→R در شرط کاراتئودوری صادق باشد یعنی برای xϵRN، fx,t برای tϵR پیوسته باشد و fx,t برای tϵR نسبت به xϵRN اندازه پذیر لبگ باشد، برای t≥0 داشته باشیم fx,t≥0 و برای t<0 و همه ی xϵRN، fx,t≡0 باشد.
C2 : برای xϵRN، حد یکنواخت lims→о+fx,ssp-1=0 و برای xϵRN و برخی مقادیر lϵ(0,+∞) حد یکنواخت lims→+∞fx,ssp-1=l برقرار باشد.
C3 : برای هر xϵRN، fx,ttp-1 نسبت به t>0 ، صعودی باشد.
C4 : تابع ftϵCR ای وجود دارد طوری که برای هرx,tϵRN×R داریم fx,t≥ft و برای هر t>0، meas xϵRN : fx,t>ft>0 طوری که برای t های کراندار حد یکنواخت limx→+∞fx,t=ft برقرار باشد.
C5 : ftϵC1R و برای تمام t>0، داریم p-1ft<f’tt.
جواب های (1.2)، با نقاط بحرانی تابعک انرژی متناظر آن که به صورت
Iu=1pRN ∇up+mupdx+1qRN ∇uq+nuqdx -RN Fx,udx 3.2 روی فضای باناخ W≡W1,pRN∩W1,qRN که انعکاسی و جدایی پذیراست تعریف می شود، در ارتباط می باشند.
در این تعریف داریم Fx,u=0 ufx,sds . در تمام این فصل نرم برای هر uϵW به صورت
u=RN ∇up+mupdx1p+RN ∇uq+nuqdx1q تعریف می شود.
به وضوح اگر C1 تا C5 برقرار باشند، IϵC1W خواهد بود. برای بررسی وجود نقاط بحرانی Iu تحت شرایط C1 تا C5، طبیعی است که باید از قضیه ی مسیر کوهی استفاده کتیم. با توجه به C1 داریم IϵC1W . بنابراین با توجه به C1 و C2 ، شرایط لازم برای این قضیه برقرارند.
به



قیمت: 10000 تومان

متن کامل در سایت homatez.com

About: admin